Determine quais dos conjuntos abaixo são ideais de \mathbb{Q}[x]. Em caso afirmativo de termine o polinômio mônico p(x) gerador do ideal e se o ideal é maximal.
J=\{(x) \in \mathbb{Q}[x] \mid f(\sqrt{3})=0\};

Passo 1

Enunciado: determinar se o conjunto
J=\{\,f\in\mathbb{Q}[x]\mid f(\sqrt{3})=0\,\}
é um ideal de \mathbb{Q}[x]. Se for ideal, encontrar um polinômio mónico gerador p(x) tal que J=(p(x)) e dizer se o ideal é maximal.
Informações dadas:
  • O anel considerado é \mathbb{Q}[x], o anel dos polinômios com coeficientes racionais.
  • O conjunto J é formado por todos os polinômios em \mathbb{Q}[x] que anulam o número \sqrt{3}, isto é, satisfazem f(\sqrt{3})=0.
  • Precisamos verificar se J tem as propriedades de ideal, identificar um gerador mónico quando possível e decidir se o ideal é maximal.

Passo 2

Verificar as propriedades de ideal (fechamento por soma, existência de inverso aditivo e fechamento por multiplicação por qualquer elemento do anel).
  1. Zero e inverso aditivo: o polinômio zero 0 satisfaz 0(\sqrt{3})=0, logo 0\in J. Se f\in J então f(\sqrt{3})=0 e (-f)(\sqrt{3})=-f(\sqrt{3})=0, logo -f\in J.
  2. Fechamento por soma: se f,g\in J então f(\sqrt{3})=g(\sqrt{3})=0. Portanto
(f+g)(\sqrt{3})=f(\sqrt{3})+g(\sqrt{3})=0+0=0,
logo f+g\in J.
  1. Fechamento por multiplicação por qualquer h\in\mathbb{Q}[x]: seja h\in\mathbb{Q}[x] e f\in J. Então
(hf)(\sqrt{3})=h(\sqrt{3})\cdot f(\sqrt{3})=h(\sqrt{3})\cdot 0=0,
portanto hf\in J.
Assim J satisfaz as condições de ideal em \mathbb{Q}[x]. Concluímos que J é um ideal.

Passo 3

Encontrar um candidato a gerador: note que o polinômio
q(x)=x^{2}-3
satisfaz q(\sqrt{3})=(\sqrt{3})^{2}-3=3-3=0. Logo q(x)\in J e, portanto, o ideal gerado por q(x), isto é (x^{2}-3), está contido em J:
(x^{2}-3)\subseteq J.

Passo 4

Mostrar que todo f\in J é múltiplo de x^{2}-3 (ou seja, J\subseteq (x^{2}-3)), usando o algoritmo da divisão em \mathbb{Q}[x].
Pelo algoritmo da divisão, para um dado f\in\mathbb{Q}[x] existem q(x),r(x)\in\mathbb{Q}[x] tais que
f(x)=(x^{2}-3)\,q(x)+r(x),
com \deg r<2. Portanto r(x) é do tipo r(x)=ax+b com a,b\in\mathbb{Q} (pode ser constante também, caso a=0).
Agora avalie em x=\sqrt{3}. Como f(\sqrt{3})=0 (porque f\in J) e (x^{2}-3)(\sqrt{3})=0, obtemos
0=f(\sqrt{3})=(x^{2}-3)(\sqrt{3})\cdot q(\sqrt{3}) + r(\sqrt{3}) = 0 + r(\sqrt{3}) = r(\sqrt{3}).
Assim r(\sqrt{3})=0. Escrevendo r(\sqrt{3})=a\sqrt{3}+b=0 temos uma combinação linear com coeficientes racionais.
Se a=0 então b=0 e logo r(x) é o polinômio zero. Se a\neq 0 então \sqrt{3} = -b/a seria racional, o que é impossível (sabemos que \sqrt{3} é irracional). Portanto necessariamente a=0 e b=0, ou seja r(x)=0.
Concluímos que o resto é zero para todo f\in J, portanto x^{2}-3 divide f e
f(x)=(x^{2}-3)\,q(x).
Isto mostra f\in (x^{2}-3) e, portanto, J\subseteq (x^{2}-3).
Juntando com o passo anterior obtemos
J=(x^{2}-3).

Passo 5

Identificar o gerador mónico: o polinômio x^{2}-3 é mónico (coeficiente líder igual a 1), e gerador de J. Assim podemos escolher
p(x)=x^{2}-3.
Explicação rápida do porquê x^{2}-3 é o menor polinômio que anula \sqrt{3}: é o polinômio minimal sobre \mathbb{Q} de \sqrt{3}; qualquer polinômio racional que zera \sqrt{3} tem que ser múltiplo do polinômio minimal.

Passo 6

Decidir se o ideal é maximal. Em \mathbb{Q}[x] (anel de polinómios sobre um corpo) um ideal principal (p(x)) é maximal se, e somente se, p(x) for irreducível sobre \mathbb{Q}.
Mostrar que x^{2}-3 é irreducível em \mathbb{Q}[x]: pelo Teorema das raízes racionais, qualquer raiz racional de um polinômio monic de grau 2 deve ser divisor do termo constante 3, isto é \pm 1 ou \pm 3. Testando:
1^{2}-3=-2\neq 0,\qquad (-1)^{2}-3=-2\neq 0,
3^{2}-3=6\neq 0,\qquad (-3)^{2}-3=6\neq 0.
Logo não há raiz racional, portanto o polinômio não tem fator linear em \mathbb{Q}[x]. Como tem grau 2, isso significa que é irreducível sobre \mathbb{Q}.
Como x^{2}-3 é irreducível, o quociente \mathbb{Q}[x]/(x^{2}-3) é um corpo (isomorfo a \mathbb{Q}(\sqrt{3})). Portanto o ideal (x^{2}-3) é maximal.

Resposta

J é um ideal de \mathbb{Q}[x].
O polinômio mónico gerador é p(x)=x^{2}-3.
O ideal J=(x^{2}-3) é maximal.

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