Determine quais dos conjuntos abaixo são ideais de
. Em caso afirmativo de termine o polinômio mônico
gerador do ideal e se o ideal é maximal.
;
Passo 1
Enunciado: determinar se o conjunto
é um ideal de
. Se for ideal, encontrar um polinômio mónico gerador
tal que
e dizer se o ideal é maximal.
Informações dadas:
- O anel considerado é
, o anel dos polinômios com coeficientes racionais. - O conjunto
é formado por todos os polinômios em que anulam o número , isto é, satisfazem . - Precisamos verificar se
tem as propriedades de ideal, identificar um gerador mónico quando possível e decidir se o ideal é maximal.
Passo 2
Verificar as propriedades de ideal (fechamento por soma, existência de inverso aditivo e fechamento por multiplicação por qualquer elemento do anel).
-
Zero e inverso aditivo: o polinômio zero
satisfaz , logo . Se então e , logo . -
Fechamento por soma: se
então . Portanto
logo
.
- Fechamento por multiplicação por qualquer
: seja e . Então
portanto
.
Assim
satisfaz as condições de ideal em
. Concluímos que
é um ideal.
Passo 3
Encontrar um candidato a gerador: note que o polinômio
satisfaz
. Logo
e, portanto, o ideal gerado por
, isto é
, está contido em
:
Passo 4
Mostrar que todo
é múltiplo de
(ou seja,
), usando o algoritmo da divisão em
.
Pelo algoritmo da divisão, para um dado
existem
tais que
com
. Portanto
é do tipo
com
(pode ser constante também, caso
).
Agora avalie em
. Como
(porque
) e
, obtemos
Assim
. Escrevendo
temos uma combinação linear com coeficientes racionais.
Se
então
e logo
é o polinômio zero. Se
então
seria racional, o que é impossível (sabemos que
é irracional). Portanto necessariamente
e
, ou seja
.
Concluímos que o resto é zero para todo
, portanto
divide
e
Isto mostra
e, portanto,
.
Juntando com o passo anterior obtemos
Passo 5
Identificar o gerador mónico: o polinômio
é mónico (coeficiente líder igual a
), e gerador de
. Assim podemos escolher
Explicação rápida do porquê
é o menor polinômio que anula
: é o polinômio minimal sobre
de
; qualquer polinômio racional que zera
tem que ser múltiplo do polinômio minimal.
Passo 6
Decidir se o ideal é maximal. Em
(anel de polinómios sobre um corpo) um ideal principal
é maximal se, e somente se,
for irreducível sobre
.
Mostrar que
é irreducível em
: pelo Teorema das raízes racionais, qualquer raiz racional de um polinômio monic de grau 2 deve ser divisor do termo constante
, isto é
ou
. Testando:
Logo não há raiz racional, portanto o polinômio não tem fator linear em
. Como tem grau
, isso significa que é irreducível sobre
.
Como
é irreducível, o quociente
é um corpo (isomorfo a
). Portanto o ideal
é maximal.
Resposta
O polinômio mónico gerador é
O ideal