Determine quais do polinômios abaixo são irredutíveis sobre \mathbb{Q}.
p(x)=x^{4}+2 x^{3}+2 x^{2}+2 x+2

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x)=x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+2
e pede para determinar se ele é irredutível sobre \mathbb{Q}.
Informações relevantes fornecidas: o polinômio é monico (coeficiente líder 1) e tem grau 4. A pergunta única é: p(x) é irredutível em \mathbb{Q}[x] (isto é, não pode ser escrito como produto de polinômios de grau menor com coeficientes racionais)?

Passo 2

O que significa "irredutível sobre \mathbb{Q}"? Vou explicar devagar: um polinômio f\in\mathbb{Q}[x] é irredutível se não existe decomposição não-trivial
f(x)=g(x)h(x)
com g,h\in\mathbb{Q}[x] de graus menores que \deg f. Para um polinômio de grau 4 as possibilidades de fato são:
  • um fator linear vezes um fator cúbico, ou
  • um produto de dois quadráticos (ambos de grau 2),
    ou (em tese) quatro fatores lineares, etc. Vou checar essas possibilidades para p(x).

Passo 3

Primeiro, verifico se existe fator linear em \mathbb{Q}[x]. Para isso uso o Teste da Raiz Racional: se \frac{r}{s} (em forma irreduzível) é raiz racional de um polinômio com coeficientes inteiros e coeficiente líder 1, então r divide o termo constante e s divide o coeficiente líder. Como p é monico, possíveis raízes racionais são divisores do termo constante 2, isto é \pm1,\pm2.
Calculo p nesses valores (cada expressão matemática isolada em bloco):
p(1)=1+2+2+2+2=9,
p(-1)=1-2+2-2+2=1,
p(2)=16+16+8+4+2=46,
p(-2)=16-16+8-4+2=6.
Nenhum desses é zero, logo p(x) não possui raiz racional. Conclusão: não existe fator linear em \mathbb{Q}[x], portanto não há fatorização do tipo linear × cúbico.

Passo 4

Sobram as possibilidade de fatoração como produto de dois quadráticos monicos:
p(x)=(x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d)
com a,b,c,d\in\mathbb{Q}. Agora uso um fato importante (Gauss lemma, versão prática): se p(x)\in\mathbb{Z}[x] é primitivo (os coeficientes inteiros têm máximo comum 1) e monico, então qualquer fatoração em \mathbb{Q}[x] por fatores monicos pode ser feita já em \mathbb{Z}[x]; ou seja, os coeficientes a,b,c,d podem ser tomados em \mathbb{Z}. No nosso caso p tem coeficientes inteiros e é primitivo, então posso procurar apenas soluções inteiras para a,b,c,d. (Intuição rápida: denominadores se cancelariam ao multiplicar fatores monicos; formalmente é consequência do lema de Gauss.)

Passo 5

Agora comparo coeficientes do produto para obter um sistema. Expandindo:
(x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d)=x^{4}+(a+c)x^{3}+(ac+b+d)x^{2}+(ad+bc)x+bd.
Comparando com p(x)=x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+2\) obtemos o sistema em \(\mathbb{Z}\): \[\begin{cases} a+c=2,\\[4pt] ac+b+d=2,\\[4pt] ad+bc=2,\\[4pt] bd=2. \end{cases}
Da última equação, como b,d\in\mathbb{Z}\], os pares possíveis \((b,d) são (1,2),(2,1),(-1,-2),(-2,-1) (divisores inteiros de 2). Vou testar cada caso.
Caso 1: b=1,\\ d=2. Então da segunda equação
ac + (1+2)=2 \implies ac=-1.
Também a+c=2. Os números a e c satisfazem o polinômio característico
t^{2}-(a+c)t+ac = t^{2}-2t-1=0.
As raízes são 1\pm\sqrt{2}, que não são inteiras. Logo não há solução inteira para a,c neste caso.
Caso 2: b=2,\\ d=1. Simétrico ao caso anterior; leva ao mesmo sistema a+c=2,\\ ac=-1, sem solução inteira.
Caso 3: b=-1,\\ d=-2. Então
ac + (-1-2)=2 \implies ac=5,
com a+c=2. Assim a,c são raízes de
t^{2}-2t+5=0,
que tem discriminante 4-20=-16<0, então não há solução real (muito menos inteira).
Caso 4: b=-2,\\ d=-1. Igual ao caso 3, também impossível em inteiros.
Portanto não existe escolha inteira de a,b,c,d que satisfaça o sistema; por consequência não existe fatoração em \mathbb{Z}[x]. Pelo lema de Gauss, também não existe fatoração em \mathbb{Q}[x] como produto de dois quadráticos monicos. Juntando com o fato de que não há raiz racional (nenhum fator linear), concluímos que não há fatoração não-trivial em \mathbb{Q}[x].]

Passo 6

Resumo e conclusão prática: p(x) não tem fator linear sobre \mathbb{Q} (teste da raiz racional) e não se decompõe em dois quadráticos com coeficientes racionais (porque tal decomposição implicaria uma decomposição inteira e o sistema associado não tem solução inteira). Logo p(x) é irredutível sobre \mathbb{Q}.

Resposta

p(x)=x^{4}+2x^{3}+2x^{2}+2x+2 é irredutível sobre \mathbb{Q}.

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