Determine quais do polinômios abaixo são irredutíveis sobre
.
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede para determinar se ele é irredutível sobre
.
Informações relevantes fornecidas: o polinômio é monico (coeficiente líder ) e tem grau
. A pergunta única é:
é irredutível em
(isto é, não pode ser escrito como produto de polinômios de grau menor com coeficientes racionais)?
Informações relevantes fornecidas: o polinômio é monico (coeficiente líder
Passo 2
O que significa "irredutível sobre
"? Vou explicar devagar: um polinômio
é irredutível se não existe decomposição não-trivial
com
de graus menores que
. Para um polinômio de grau
as possibilidades de fato são:
- um fator linear vezes um fator cúbico, ou
- um produto de dois quadráticos (ambos de grau
),
ou (em tese) quatro fatores lineares, etc. Vou checar essas possibilidades para.
Passo 3
Primeiro, verifico se existe fator linear em
. Para isso uso o Teste da Raiz Racional: se
(em forma irreduzível) é raiz racional de um polinômio com coeficientes inteiros e coeficiente líder
, então
divide o termo constante e
divide o coeficiente líder. Como
é monico, possíveis raízes racionais são divisores do termo constante
, isto é
.
Calculo
nesses valores (cada expressão matemática isolada em bloco):
Nenhum desses é zero, logo
não possui raiz racional. Conclusão: não existe fator linear em
, portanto não há fatorização do tipo linear × cúbico.
Passo 4
Sobram as possibilidade de fatoração como produto de dois quadráticos monicos:
com
. Agora uso um fato importante (Gauss lemma, versão prática): se
é primitivo (os coeficientes inteiros têm máximo comum
) e monico, então qualquer fatoração em
por fatores monicos pode ser feita já em
; ou seja, os coeficientes
podem ser tomados em
. No nosso caso
tem coeficientes inteiros e é primitivo, então posso procurar apenas soluções inteiras para
. (Intuição rápida: denominadores se cancelariam ao multiplicar fatores monicos; formalmente é consequência do lema de Gauss.)
Passo 5
Agora comparo coeficientes do produto para obter um sistema. Expandindo:
Comparando com
Da última equação, como
são
(divisores inteiros de
). Vou testar cada caso.
Caso 1:
. Então da segunda equação
Também
. Os números
e
satisfazem o polinômio característico
As raízes são
, que não são inteiras. Logo não há solução inteira para
neste caso.
Caso 2:
. Simétrico ao caso anterior; leva ao mesmo sistema
, sem solução inteira.
Caso 3:
. Então
com
. Assim
são raízes de
que tem discriminante
, então não há solução real (muito menos inteira).
Caso 4:
. Igual ao caso 3, também impossível em inteiros.
Portanto não existe escolha inteira de
que satisfaça o sistema; por consequência não existe fatoração em
. Pelo lema de Gauss, também não existe fatoração em
como produto de dois quadráticos monicos. Juntando com o fato de que não há raiz racional (nenhum fator linear), concluímos que não há fatoração não-trivial em
.]
Passo 6
Resumo e conclusão prática:
não tem fator linear sobre
(teste da raiz racional) e não se decompõe em dois quadráticos com coeficientes racionais (porque tal decomposição implicaria uma decomposição inteira e o sistema associado não tem solução inteira). Logo
é irredutível sobre
.