Determine quais dos conjuntos abaixo são L.I.
(1,0,1),(0,0,1),(2,0,5)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente determinar se o conjunto de vetores (1,0,1),(0,0,1),(2,0,5) é linearmente independente (L.I.). Para isso, vamos precisar entender o que é linearmente independente e como verificar isso usando álgebra linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Basicamente, um conjunto de vetores é L.I. se nenhuma combinação linear dos vetores resulta no vetor zero, a menos que todos os coeficientes dessa combinação sejam zero. Em termos mais simples, não dá para escrever um dos vetores como uma combinação dos outros.

Passo 3

Para verificar se nossos vetores são L.I., vamos montar uma equação onde uma combinação linear deles é igual ao vetor zero:
a(1,0,1) + b(0,0,1) + c(2,0,5) = (0,0,0)
Isso resulta em um sistema de equações:
a + 2c = 0 0 + 0 + 0 = 0 a + b + 5c = 0

Passo 4

Agora, vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação, temos:
a = -2c
Substituindo a = -2c na terceira equação:
-2c + b + 5c = 0 b + 3c = 0 b = -3c

Passo 5

Vemos que a e b podem ser expressos em termos de c. Isso significa que existem infinitas soluções para esse sistema, além da solução trivial onde a = b = c = 0. Portanto, os vetores são linearmente dependentes, já que conseguimos encontrar combinações não triviais que resultam no vetor zero.

Resposta

O conjunto (1,0,1),(0,0,1),(2,0,5) é linearmente dependente.

Exercícios relacionados