Determine o resto da divisão de:
5!cdot 25 ! por 31

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de 5!cdot25! por 31.
Conteúdo: aritmética modular com fatoriais e o Teorema de Wilson.
Vamos usar que, para primo p, vale
(p-1)!equiv -1pmod p
e reescrever 30! em função de 25!.

Passo 2

Aplicando Wilson para p=31, temos
30!equiv -1pmod31
Por outro lado
30!=30cdot29cdot28cdot27cdot26cdot25!
Logo,
30cdot29cdot28cdot27cdot26cdot25!equiv -1pmod31

Passo 3

Calculamos o produto dos fatores maiores:
30equiv -1,29equiv -2,28equiv -3,27equiv -4,26equiv -5pmod31,
então
30cdot29cdot28cdot27cdot26 equiv(-1)(-2)(-3)(-4)(-5) = -120equiv 4pmod31
Assim
4cdot25!equiv -1pmod31

Passo 4

Isolando 25!:
25!equiv -1cdot4^-1pmod31
O inverso de 4 módulo 31 é 8 (pois 4cdot8=32equiv1), então
25!equiv -1cdot8equiv -8equiv23pmod31

Passo 5

Finalmente, calculamos
5!cdot25!equiv 120cdot23pmod31
Como 120equiv27pmod31, segue
27cdot23=621equiv1pmod31

Resposta

O resto da divisão de 5!cdot25! por 31 é 1.

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