Determine os conjuntos domínio, imagem e gráfico das seguintes funções
h(x)=\sqrt{x+2}

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre a função dada:
  • Determinar o conjunto domínio de h.
  • Determinar o conjunto imagem (contraparte também chamado de intervalo ou conjunto de valores) de h.
  • Descrever o gráfico de h.
Informações fornecidas:
  • A função é h(x)=\sqrt{x+2}.
  • Aqui \sqrt{\cdot} denota a raiz quadrada principal, ou seja, sempre retorna valores reais não negativos (se o radicando for não negativo).

Passo 2

Entendendo o que impede h(x) de estar definida: como a função envolve uma raiz quadrada real, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Então escrevemos a condição necessária para x:
x+2 \ge 0.
Isso vem do fato básico: a raiz quadrada real de um número só existe (no conjunto dos reais) quando esse número é \ge 0.

Passo 3

Resolver a desigualdade do passo anterior:
x+2 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x \ge -2.
A manipulação é simples: subtrai-se 2 dos dois lados da desigualdade. Assim obtemos a descrição do domínio em forma de desigualdade.

Passo 4

Escrever o domínio em notações usuais. A partir de x\ge-2 temos:
\text{Dom}(h)=\{x\in\mathbb{R}\mid x\ge -2\}=[-2,\infty).
Explicação intuitiva rápida: valores de x menores que -2 fariam x+2 negativo e a raiz quadrada real não estaria definida; por isso só aceitamos x\ge-2.

Passo 5

Agora vamos achar a imagem (conjunto de saídas). Coloque y=h(x)=\sqrt{x+2}. Pela definição da raiz quadrada principal temos sempre y\ge 0. Para ver quais valores não negativos realmente ocorrem, resolvemos em função de x:
y=\sqrt{x+2}\quad\Longrightarrow\quad y\ge 0\quad\text{e}\quad x=y^{2}-2.
Vendo x=y^{2}-2 com y\ge 0, para qualquer y\ge 0 existe um x (igual a y^{2}-2) na \text{Dom}(h) que produz esse y. Portanto todos os y\ge 0 aparecem como imagens.

Passo 6

Concluir a imagem formalmente:
\text{Im}(h)=\{y\in\mathbb{R}\mid y\ge 0\}=[0,\infty).
Observação prática: o menor valor de h ocorre em x=-2 e é h(-2)=\sqrt{0}=0. À medida que x\to\infty temos h(x)\to\infty, por isso não há limite superior.

Passo 7

Descrever o gráfico. O gráfico de h é o conjunto de pontos (x,y) do plano que satisfazem a relação y=\sqrt{x+2} com x no domínio encontrado. Formalmente:
\text{Gr}(h)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge -2,\; y=\sqrt{x+2}\}.
Dicas visuais e pontos de referência (úteis para desenhar à mão):
  • Ponto inicial (extremo esquerdo): (-2,0).
  • Alguns pontos fáceis: (-1,1) porque \sqrt{-1+2}=\sqrt{1}=1; (2,2) porque \sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2; (7,3) porque \sqrt{7+2}=\sqrt{9}=3.
  • Geometricamente, é a curva da raiz quadrada padrão y=\sqrt{x} deslocada 2 unidades para a esquerda (porque aparece x+2 em vez de x).

Resposta

\mathrm{Dom}(h)=[-2,\infty)
\mathrm{Im}(h)=[0,\infty)
\mathrm{Gr}(h)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid x\ge -2,\; y=\sqrt{x+2}\}

Exercícios relacionados