Determine os conjuntos domínio, imagem e gráfico das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre a função dada:
- Determinar o conjunto domínio de
. - Determinar o conjunto imagem (contraparte também chamado de intervalo ou conjunto de valores) de
. - Descrever o gráfico de
.
Informações fornecidas:
- A função é
. - Aqui
denota a raiz quadrada principal, ou seja, sempre retorna valores reais não negativos (se o radicando for não negativo).
Passo 2
Entendendo o que impede
de estar definida: como a função envolve uma raiz quadrada real, o radicando deve ser maior ou igual a zero. Então escrevemos a condição necessária para
:
Isso vem do fato básico: a raiz quadrada real de um número só existe (no conjunto dos reais) quando esse número é
.
Passo 3
Resolver a desigualdade do passo anterior:
A manipulação é simples: subtrai-se
dos dois lados da desigualdade. Assim obtemos a descrição do domínio em forma de desigualdade.
Passo 4
Escrever o domínio em notações usuais. A partir de
temos:
Explicação intuitiva rápida: valores de
menores que
fariam
negativo e a raiz quadrada real não estaria definida; por isso só aceitamos
.
Passo 5
Agora vamos achar a imagem (conjunto de saídas). Coloque
. Pela definição da raiz quadrada principal temos sempre
. Para ver quais valores não negativos realmente ocorrem, resolvemos em função de
:
Vendo
com
, para qualquer
existe um
(igual a
) na
que produz esse
. Portanto todos os
aparecem como imagens.
Passo 6
Concluir a imagem formalmente:
Observação prática: o menor valor de
ocorre em
e é
. À medida que
temos
, por isso não há limite superior.
Passo 7
Descrever o gráfico. O gráfico de
é o conjunto de pontos
do plano que satisfazem a relação
com
no domínio encontrado. Formalmente:
Dicas visuais e pontos de referência (úteis para desenhar à mão):
- Ponto inicial (extremo esquerdo):
. - Alguns pontos fáceis:
porque ; porque ; porque . - Geometricamente, é a curva da raiz quadrada padrão
deslocada 2 unidades para a esquerda (porque aparece em vez de ).