Determine os conjuntos domínio, imagem e gráfico das seguintes funções
g(x)=\frac{2 x}{x^{2}+1}

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função g definida por g(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}:
  • Determinar o conjunto domínio (todos os x reais onde a função está definida).
  • Determinar o conjunto imagem (todos os valores possíveis de g(x)).
  • Determinar o gráfico (o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem y=g(x)).
Informações dadas:
  • A expressão algébrica de g é g(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}.
  • Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Domínio — o que pode dar problema na expressão?
  • A única possível restrição vem do denominador x^{2}+1. Precisamos evitar divisões por zero.
  • Resolver x^{2}+1=0 em \mathbb{R} x^{2}=-1, o que não tem solução real porque x^{2}\ge 0 para todo x\in\mathbb{R}.
  • Além disso, para qualquer x\in\mathbb{R} temos x^{2}+1\ge 1>0, então o denominador nunca se anula.
Conclusão: a função está definida para todo x real, ou seja o domínio é \mathbb{R}.

Passo 3

Imagem — método algébrico (resolver para x em função de y)
  • Coloco y=\dfrac{2x}{x^{2}+1} e vejo para quais y existe algum x\in\mathbb{R} que satisfaça isso.
  • Reescrevendo:
y(x^{2}+1)=2x.
  • Isso é uma equação quadrática em x:
y x^{2}-2x+y=0.
  • Para que exista solução real x, o discriminante dessa quadrática deve ser não negativo. O discriminante é
\Delta = (-2)^{2}-4\cdot y\cdot y = 4-4y^{2}=4(1-y^{2}).
  • Exigindo \Delta\ge 0 obtém-se
1-y^{2}\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad y^{2}\le 1 \quad\Longrightarrow\quad |y|\le 1.
  • Portanto todo y fora do intervalo [-1,1] não pode ser valor da função; assim a imagem está contida em [-1,1].
  • Verificar se os extremos \,y=1 e y=-1 são atingidos:
    • Para y=1 a equação fica x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}=0, solução x=1. De fato g(1)=\dfrac{2\cdot1}{1+1}=1.
    • Para y=-1 a equação fica x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}=0, solução x=-1. De fato g(-1)=\dfrac{2(-1)}{1+1}=-1.
  • Assim todos os valores com |y|\le 1 ocorrem para algum x, e os extremos são atingidos.
Conclusão: a imagem é o intervalo [-1,1].

Passo 4

Verificação alternativa (intuição com derivada e extremos) — isso ajuda a entender o porquê dos extremos
  • Calculamos a derivada para ver máximos/minimos:
g'(x)=\frac{(2)(x^{2}+1)-2x(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{2x^{2}+2-4x^{2}}{(x^{2}+1)^{2}}=\frac{2(1-x^{2})}{(x^{2}+1)^{2}}.
  • Zeros de g': g'(x)=0 quando 1-x^{2}=0, ou seja x=\pm 1. Esses são os pontos críticos.
  • Análise de sinal: g'(x)>0 para -1<x<1 (função crescente) e g'(x)<0 para |x|>1 (função decrescente). Logo x=1 é máximo local e x=-1 é mínimo local.
  • Avaliando: g(1)=1, g(-1)=-1. Além disso \lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0. Isso confirma que o valor máximo é 1 e o mínimo é -1, portanto a imagem é [-1,1].

Passo 5

Descrição do gráfico — propriedades úteis para desenhar à mão ou reconhecer o formato
  • Conjunto do gráfico em notação de conjuntos:
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=\dfrac{2x}{x^{2}+1}\}.
  • Propriedades do gráfico:
    • Intercepto com o eixo y: g(0)=0, então passa por (0,0).
    • Função ímpar: g(-x)=-g(x), portanto simétrica em relação à origem.
    • Máximo em (1,1) e mínimo em (-1,-1).
    • Monotonia: crescente em (-1,1) e decrescente em (-\infty,-1) e (1,\infty).
    • Comportamento assintótico: \lim_{x\to\pm\infty}g(x)=0, então o eixo x (reta y=0) é uma assíntota horizontal no sentido de tendência (a curva se aproxima de y=0 para |x| grandes).
  • Com essas informações dá para esboçar a curva: sobe de 0 até (1,1), desce aproximando-se de 0 quando x\to\infty; e simetricamente para x<0.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [-1,1]
Gráfico: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=\dfrac{2x}{x^{2}+1}\}

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