Determine os conjuntos domínio, imagem e gráfico das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
definida por
:
- Determinar o conjunto domínio (todos os
reais onde a função está definida). - Determinar o conjunto imagem (todos os valores possíveis de
). - Determinar o gráfico (o conjunto de pontos
que satisfazem ).
Informações dadas:
- A expressão algébrica de
é . - Não há outras restrições explícitas no enunciado.
Passo 2
Domínio — o que pode dar problema na expressão?
- A única possível restrição vem do denominador
. Precisamos evitar divisões por zero. - Resolver
em dá , o que não tem solução real porque para todo . - Além disso, para qualquer
temos , então o denominador nunca se anula.
Conclusão: a função está definida para todo
real, ou seja o domínio é
.
Passo 3
Imagem — método algébrico (resolver para
em função de
)
- Coloco
e vejo para quais existe algum que satisfaça isso. - Reescrevendo:
- Isso é uma equação quadrática em
:
- Para que exista solução real
, o discriminante dessa quadrática deve ser não negativo. O discriminante é
- Exigindo
obtém-se
- Portanto todo
fora do intervalo não pode ser valor da função; assim a imagem está contida em . - Verificar se os extremos
e são atingidos: - Para
a equação fica , solução . De fato . - Para
a equação fica , solução . De fato .
- Para
- Assim todos os valores com
ocorrem para algum , e os extremos são atingidos.
Conclusão: a imagem é o intervalo
.
Passo 4
Verificação alternativa (intuição com derivada e extremos) — isso ajuda a entender o porquê dos extremos
- Calculamos a derivada para ver máximos/minimos:
- Zeros de
: quando , ou seja . Esses são os pontos críticos. - Análise de sinal:
para (função crescente) e para (função decrescente). Logo é máximo local e é mínimo local. - Avaliando:
, . Além disso . Isso confirma que o valor máximo é e o mínimo é , portanto a imagem é .
Passo 5
Descrição do gráfico — propriedades úteis para desenhar à mão ou reconhecer o formato
- Conjunto do gráfico em notação de conjuntos:
- Propriedades do gráfico:
- Intercepto com o eixo
: , então passa por . - Função ímpar:
, portanto simétrica em relação à origem. - Máximo em
e mínimo em . - Monotonia: crescente em
e decrescente em e . - Comportamento assintótico:
, então o eixo (reta ) é uma assíntota horizontal no sentido de tendência (a curva se aproxima de para grandes).
- Intercepto com o eixo
- Com essas informações dá para esboçar a curva: sobe de
até , desce aproximando-se de quando ; e simetricamente para .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico:
Imagem:
Gráfico: