Determine os conjuntos domínio, imagem e gráfico das seguintes funções
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
:
- Determinar o conjunto domínio (todos os
reais para os quais a função está definida). - Determinar o conjunto imagem (todos os valores possíveis de
que a função pode assumir). - Descrever o gráfico da função (ou seja, o conjunto de pontos
que satisfazem a igualdade).
A informação dada é apenas a fórmula da função:
.
Passo 2
Entendendo o que limita o domínio: para funções reais que envolvem uma raiz quadrada, a expressão dentro da raiz (o radicando) precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada principal só é definida para números reais não negativos.
Portanto precisamos garantir que
Passo 3
Resolver a desigualdade
.
Observação básica: para todo
vale
. Então
para qualquer
. Ou seja, o radicando é sempre positivo (na verdade sempre maior ou igual a
), portanto não há restrição sobre
.
Conclusão: o domínio é todo o conjunto dos números reais:
Passo 4
Agora vamos encontrar a imagem (conjunto de valores possíveis de
). Lembrete: a raiz quadrada principal sempre produz valores não negativos. Além disso, como
, temos
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (função crescente), obtemos
Isso mostra que
nunca é menor que
.
Passo 5
Mostrar que todos os valores
realmente ocorrem (para caracterizar a imagem como um intervalo fechado a partir de
).
- No ponto
temos
portanto o valor mínimo
é atingido.
- Para grande
, e portanto . Assim a função assume valores arbitrariamente grandes.
Combinação dessas observações: a imagem é o intervalo
Passo 6
Descrever o gráfico e propriedades úteis para esboçá-lo.
- Notação do gráfico em forma de conjunto:
-
Simetria: como a expressão depende de
, a função é par, isto é, . Logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo . -
Derivada (opcional, mas útil para ver monotonia e mínimo): derivando
em termos de ,
Dessa expressão segue que
para
,
em
e
para
. Ou seja, a função decresce até
e cresce a partir de
, confirmando que em
há um mínimo global.
- Pontos para esboçar (exemplos numéricos):
Com esses pontos e a simetria obtém-se o formato: duas “ramas” suaves que se elevam quando
aumenta, com o ponto mais baixo em
. Para
grande,
(com ligeira diferença) — portanto não há assíntota horizontal finita.
Passo 7
Como resumo prático para a prova — receita rápida:
- Para o domínio: obrigatoriamente imponha o radicando
e resolva; aqui já fica claro que vale para todo . - Para a imagem: ache o mínimo possível do radicando (aqui em
dá ), extraia a raiz para obter o menor , e verifique que não há teto superior. - Para o gráfico: usar simetria (função par), o ponto mínimo em
e a monotonia à esquerda e à direita do zero (derivada) para desenhar as duas ramificações.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Gráfico:
Imagem:
Gráfico: