Determine os conjuntos domínio, imagem e gráfico das seguintes funções
y=\sqrt{2+x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função y=\sqrt{2+x^{2}}:
  • Determinar o conjunto domínio (todos os x reais para os quais a função está definida).
  • Determinar o conjunto imagem (todos os valores possíveis de y que a função pode assumir).
  • Descrever o gráfico da função (ou seja, o conjunto de pontos (x,y) que satisfazem a igualdade).
A informação dada é apenas a fórmula da função: y=\sqrt{2+x^{2}}.

Passo 2

Entendendo o que limita o domínio: para funções reais que envolvem uma raiz quadrada, a expressão dentro da raiz (o radicando) precisa ser maior ou igual a zero, porque a raiz quadrada principal só é definida para números reais não negativos.
Portanto precisamos garantir que
2+x^{2}\ge 0.

Passo 3

Resolver a desigualdade \;2+x^{2}\ge 0\;.
Observação básica: para todo x\in\mathbb{R} vale \;x^{2}\ge 0\;. Então
2+x^{2}\ge 2>0
para qualquer x. Ou seja, o radicando é sempre positivo (na verdade sempre maior ou igual a 2), portanto não há restrição sobre x.
Conclusão: o domínio é todo o conjunto dos números reais:
\text{Domínio}=\mathbb{R}.í

Passo 4

Agora vamos encontrar a imagem (conjunto de valores possíveis de y). Lembrete: a raiz quadrada principal sempre produz valores não negativos. Além disso, como x^{2}\ge 0, temos
2+x^{2}\ge 2.
Tomando raiz quadrada em ambos os lados (função crescente), obtemos
y=\sqrt{2+x^{2}}\ge \sqrt{2}.
Isso mostra que y nunca é menor que \sqrt{2}.

Passo 5

Mostrar que todos os valores y\ge \sqrt{2} realmente ocorrem (para caracterizar a imagem como um intervalo fechado a partir de \sqrt{2}).
  • No ponto x=0 temos
y=\sqrt{2+0^{2}}=\sqrt{2},
portanto o valor mínimo \sqrt{2} é atingido.
  • Para grande |x|, x^{2}\to\infty e portanto y=\sqrt{2+x^{2}}\to\infty. Assim a função assume valores arbitrariamente grandes.
Combinação dessas observações: a imagem é o intervalo
\text{Imagem}=[\sqrt{2},\,\infty).

Passo 6

Descrever o gráfico e propriedades úteis para esboçá-lo.
  1. Notação do gráfico em forma de conjunto:
\text{Gráfico}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=\sqrt{2+x^{2}}\}.á
  1. Simetria: como a expressão depende de x^{2}, a função é par, isto é, f(-x)=f(x). Logo o gráfico é simétrico em relação ao eixo y.
  2. Derivada (opcional, mas útil para ver monotonia e mínimo): derivando y em termos de x,
y'=\frac{d}{dx}\sqrt{2+x^{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2+x^{2}}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{2+x^{2}}}.
Dessa expressão segue que y'<0 para x<0, y'=0 em x=0 e y'>0 para x>0. Ou seja, a função decresce até x=0 e cresce a partir de x=0, confirmando que em x=0 há um mínimo global.
  1. Pontos para esboçar (exemplos numéricos):
x=0\Rightarrow y=\sqrt{2}, \qquad x=1\Rightarrow y=\sqrt{3}, \qquad x=2\Rightarrow y=\sqrt{6}.
Com esses pontos e a simetria obtém-se o formato: duas “ramas” suaves que se elevam quando |x| aumenta, com o ponto mais baixo em (0,\sqrt{2}). Para |x| grande, y\sim |x| (com ligeira diferença) — portanto não há assíntota horizontal finita.

Passo 7

Como resumo prático para a prova — receita rápida:
  • Para o domínio: obrigatoriamente imponha o radicando \ge 0 e resolva; aqui já fica claro que vale para todo x.
  • Para a imagem: ache o mínimo possível do radicando (aqui em x=0 2), extraia a raiz para obter o menor y, e verifique que não há teto superior.
  • Para o gráfico: usar simetria (função par), o ponto mínimo em (0,\sqrt{2}) e a monotonia à esquerda e à direita do zero (derivada) para desenhar as duas ramificações.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [\sqrt{2},\infty)
Gráfico: \{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid y=\sqrt{2+x^{2}}\}

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