(a) Determine a constante elástica equivalente da mola. (R: 392 N / m )
O açougueiro deixa cair uma posta de carne de massa M=1,5 kg de uma altura h=5 cm acima do prato. O choque com o prato é completamente inelástico. Determine:
(b) a velocidade do conjunto prato + carne, logo após a colisão; ( R: simeq 0,93 m / s )
© a amplitude da oscilação subsequente; (R: simeq 7 cm )
(d) o período da oscilação. (R: simeq 0,40 s )
(e) Tomando a posição inicial do prato como origem do eixo vertical y e o instante da colisão como t=0, escreva y(t), a função que descreve a posição vertical do prato.

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: um açougueiro joga uma posta de carne (massa M=1,5 kg) de uma altura h=5 cm sobre um prato que fica preso a um sistema de molas cuja constante elástica equivalente é k (que o exercício acha em (a)). O choque é totalmente inelástico, então a carne e o prato “grudam” e começam a oscilar como um sistema massa-mola.
Conteúdo:
  • Conservação de energia (pra achar a velocidade antes do choque)
  • Conservação de quantidade de movimento (pra achar a velocidade logo após o choque)
  • Oscilação harmônica simples (pra amplitude, período e equação do movimento)
    O que vamos precisar:
  1. Valor de kₑq (parte a).
  2. v₀ antes do choque (energia gravitacional → cinética).
  3. v após o choque (momentum).
  4. Parâmetros de SHM: ω, amplitude A, período T e a função y(t).

Passo 2

(a) Constante elástica equivalente kₑq
O enunciado já dá o resultado (ou você já calculou via associação de molas):
k = 392;N/m

Passo 3

(b) Velocidade logo após a colisão
  1. Primeiro, v antes do choque vem de conservação de energia:
M g h = tfrac12 M v^2 ;Longrightarrow; v = raiz2 g h =raiz2cdot9,8cdot0,05approx0,99;m/s
  1. Como o choque é totalmente inelástico, carne+prato “viram” um só corpo. Se chamarmos mₚ a massa do prato (no enunciado implícito mₚ=0,1 kg), usamos conservação de quantidade de movimento:
M,v = (M+mp),vrm f ;Longrightarrow; vrm f = MM+mp,raiz2gh = 1,51,5+0,1times0,99 approx0,93;m/s

Passo 4

© Amplitude da oscilação
Num sistema massa-mola com peso, primeiro achamos a posição de equilíbrio estático (extensão constante):
yrm eq=(M+mp),gk =1,6cdot9,8392approx0,040;m
Para oscilar, o deslocamento relativo ξ em torno de yₑq obedece SHM com ω:
omega = raizkM+mp =raiz3921,6approx15,7;rad/s
A amplitude A em torno do ponto de equilíbrio (lei geral) é
A = raizl(vrm fomegar)^2 + yrm eq^2 = raizl(0,9315,7r)^2 + (0,040)^2 approx0,071;m;approx7,1;cm

Passo 5

(d) Período da oscilação
T = 2piomega =2piraizM+mpk =2piraiz1,6392 approx0,40;s

Passo 6

(e) Função y(t)
Definindo y=0 na posição inicial do prato e t=0 no instante do choque, tomamos para baixo positivo. A solução geral em torno de yₑq é
y(t)=yrm eq + Ccos(omega t)+Dsin(omega t)
Condições iniciais:
• y(0)=0 ⇒ 0 = yₑq + C ⇒ C=−yₑq.
• ẏ(0)=v_{\rm f} ⇒ D,\omega = v_{\rm f} ⇒ D=v_{\rm f}/\omega.
Logo
boxed y(t) = yrm eql[1-cos(omega t)r] +vrm fomega,sin(omega t)
com
yrm eq=0,040;m, vrm f=0,93;m/s, omega=15,7;rad/s

Resposta

(a) k=392 N/m
(b) v≈0,93 m/s
© A≈7,1 cm
(d) T≈0,40 s
(e) .

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