(a) obtenha a equação diferencial que descreve o movimento da barra.
(b) Determine a frequência angular omega de oscilação da barra, considerando oscilações de pequenas amplitudes.
© Obtenha a função theta(t) que descreve o movimento de oscilação da barra.
R: (a) d^2 thetad t^2+[32 gL+3 kM cos theta] sin theta=0 ; (b) omega=raiz32 gL+3 kM ; (c) theta(t)=theta0 cos (omega t)

Passo 1

Beleza! O exercício pede:
(a) Encontrar a equação diferencial que manda no ângulo θ( t ) de uma barra rígida presa por uma mola e sujeita à gravidade.
(b) Achar a frequência angular de pequenas oscilações.
© Resolver para θ( t ).
Conteúdo: Dinâmica de rotação (torque, momento de inércia), equações diferenciais e aproximações de pequeno ângulo (sin θ≈θ, cos θ≈1). Vamos usar a segunda lei de Newton para rotações:
I,alpha = sum tau
onde I é o momento de inércia da barra em relação ao pivô (I=⅓ M L²) e α=d²θ/dt².

Passo 2

Calcular torques:
  1. Gravidade: o peso age no centro da barra (distância L/2 do pivô), fazendo torque restaurador
taug = -M g,L2,sintheta,
O sinal “–” é porque o torque tenta levar θ a zero.
  1. Mola: a ponta da barra se desloca e estica/ comprime a mola. A força da mola vale
Fs = -k,(extensão)approx -k,(Lcostheta - L),, ã
mas a parte que gera torque é a componente perpendicular ao braço L, ou seja
taus = -Fs;Lsintheta = -[-k,(Lcostheta - L)],Lsintheta = -k,L^2costhetasintheta,
Somando os torques e aplicando I α=τ:
$$I\frac{d2\theta}{dt2} = \tau_g + \tau_s
= -M g\frac{L}{2}\sin\theta ;-; kL^2\cos\theta\sin\theta,. Id^2thetadt^2 = taug + taus = -M gL2sintheta ;-; kL^2costhetasintheta, \frac{d2\theta}{dt2}
  • \Bigl[\frac{3}{2}\frac{g}{L} + \frac{3k}{M}\cos\theta\Bigr]\sin\theta = 0,. $$

Passo 3

Para pequenas oscilações usamos sin θ≈θ e cos θ≈1. A equação vira
d^2thetadt^2 + l(32gL+3kMr)theta =0,
Isso é a equação de um pêndulo / mola linear com
omega^2 = 32gL + 3kM,

Passo 4

A solução da equação ddottheta +omega^2theta=0 é
theta(t)=theta0cos(omega t +varphi),
Se escolhermos fase inicial zero (ϕ=0) e amplitude θ₀,
theta(t)=theta0cos(omega t),

Resposta

(a) d^2thetadt^2+l[32gL+3kMcosthetar]sintheta=0.
(b) $\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{3}{2}\frac{g}{L}+\frac{3k}{M}},. $
© $\displaystyle \theta(t)=\theta_{0}\cos(\omega t),. $

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