(a) obtenha a equação diferencial que descreve o movimento da barra.
(b) Determine a frequência angular
de oscilação da barra, considerando oscilações de pequenas amplitudes.
© Obtenha a função
que descreve o movimento de oscilação da barra.
(b) Determine a frequência angular
© Obtenha a função
Passo 1
Beleza! O exercício pede:
(a) Encontrar a equação diferencial que manda no ângulo θ( t ) de uma barra rígida presa por uma mola e sujeita à gravidade.
(b) Achar a frequência angular de pequenas oscilações.
© Resolver para θ( t ).
(a) Encontrar a equação diferencial que manda no ângulo θ( t ) de uma barra rígida presa por uma mola e sujeita à gravidade.
(b) Achar a frequência angular de pequenas oscilações.
© Resolver para θ( t ).
Conteúdo: Dinâmica de rotação (torque, momento de inércia), equações diferenciais e aproximações de pequeno ângulo (sin θ≈θ, cos θ≈1). Vamos usar a segunda lei de Newton para rotações:
onde I é o momento de inércia da barra em relação ao pivô (I=⅓ M L²) e α=d²θ/dt².
Passo 2
Calcular torques:
- Gravidade: o peso age no centro da barra (distância L/2 do pivô), fazendo torque restaurador
O sinal “–” é porque o torque tenta levar θ a zero.
- Mola: a ponta da barra se desloca e estica/ comprime a mola. A força da mola vale
mas a parte que gera torque é a componente perpendicular ao braço L, ou seja
Somando os torques e aplicando I α=τ:
$$I\frac{d2\theta}{dt2} = \tau_g + \tau_s
= -M g\frac{L}{2}\sin\theta ;-; kL^2\cos\theta\sin\theta,.
\frac{d2\theta}{dt2}
- \Bigl[\frac{3}{2}\frac{g}{L} + \frac{3k}{M}\cos\theta\Bigr]\sin\theta = 0,. $$
Passo 3
Para pequenas oscilações usamos sin θ≈θ e cos θ≈1. A equação vira
Isso é a equação de um pêndulo / mola linear com
Passo 4
A solução da equação
é
Se escolhermos fase inicial zero (ϕ=0) e amplitude θ₀,
Resposta
(a)
.
(b) $\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{3}{2}\frac{g}{L}+\frac{3k}{M}},. $
© $\displaystyle \theta(t)=\theta_{0}\cos(\omega t),. $
(b) $\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{3}{2}\frac{g}{L}+\frac{3k}{M}},. $
© $\displaystyle \theta(t)=\theta_{0}\cos(\omega t),. $