Determine a constante de velocidade das seguintes reações de primeira ordem, expressas como a velocidade de perda de A:
\mathrm{A} \square \mathrm{B}, sabendo que a concentração de A decresce de 0,67 \mathrm{~mol} . \mathrm{L}^{-1} a 0,53 \mathrm{~mol} . \mathrm{L}^{-1} em 25 s .

Passo 1

O enunciado pede: determinar a constante de velocidade da reação de primeira ordem \mathrm{A}\to\mathrm{B}, expressa como a velocidade de perda de A, sabendo que a concentração de A decresce de \,0,67\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}\, para \,0,53\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}\, em 25\\ \mathrm{s}.
Informações dadas:
  • Concentração inicial: [\mathrm{A}]_0 = 0,67\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
  • Concentração no tempo t=25\\ \mathrm{s}: [\mathrm{A}]_t = 0,53\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}}.
  • Intervalo de tempo: t=25\\ \mathrm{s}.
  • A reação é de primeira ordem em A (ou seja, a velocidade de perda de A depende linearmente de [\mathrm{A}]).
O que se pede:
  • Calcular a constante de velocidade k (unidade esperada: \mathrm{s}^{-1}).

Passo 2

Relembrando a lei cinética de primeira ordem e sua integração (aula curta e amigável).
  • Para uma reação de primeira ordem \mathrm{A}\to\mathrm{produtos}, a equação diferencial que descreve a perda de A é
-\frac{d[\mathrm{A}]}{dt} = k[\mathrm{A}],
onde:
  • [\mathrm{A}] é a concentração de A em mol·L^{-1},
  • t é o tempo em s,
  • k é a constante de velocidade (unidade \mathrm{s}^{-1}).
  • Integração desta equação (separando variáveis e integrando de t=0 com [\mathrm{A}]_0 até tempo t com [\mathrm{A}]_t) leva à forma integrada:
[\mathrm{A}]_t = [\mathrm{A}]_0 e^{-k t}.
Outra forma equivalente, útil para isolar k, é a forma logarítmica:
\ln\!\left(\frac{[\mathrm{A}]_t}{[\mathrm{A}]_0}\right) = -k t.
Explicando: \ln é o logaritmo natural; essa fórmula é apenas a exponencial invertida — muito usada em provas porque permite calcular k diretamente quando se conhece duas concentrações e o tempo.

Passo 3

Isolando k da forma integrada logarítmica:
\ln\!\left(\frac{[\mathrm{A}]_t}{[\mathrm{A}]_0}\right) = -k t \quad\Rightarrow\quad k = -\frac{1}{t}\ln\!\left(\frac{[\mathrm{A}]_t}{[\mathrm{A}]_0}\right).
Outra forma equivalente, que às vezes é mais direta na conta, é
k = \frac{1}{t}\ln\!\left(\frac{[\mathrm{A}]_0}{[\mathrm{A}]_t}\right).
Aqui todas as variáveis já foram definidas no passo anterior.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos que o enunciado forneceu (peguei estes números do enunciado):
[ \mathrm{A}]_0 = 0,67, [\mathrm{A}]_t = 0,53, t = 25\\ \mathrm{s}.
Usando
k = \frac{1}{t}\ln\!\left(\frac{[\mathrm{A}]_0}{[\mathrm{A}]_t}\right),
temos
k = \frac{1}{25}\ln\!\left(\frac{0,67}{0,53}\right).

Passo 5

Fazendo a divisão dentro do logaritmo e calculando o logaritmo natural (mostrando os passos numéricos):
\frac{0,67}{0,53} \approx 1,26415094,
\ln(1,26415094) \approx 0,23446.
Dividindo por 25:
k \approx \frac{0,23446}{25} \approx 0,0093784\\ \mathrm{s}^{-1}.
Arredondando com três algarismos significativos (padrão usual em cinética):
k \approx 9,38\times 10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 6

Interpretação rápida e dica de prova:
  • Unidade de k para primeira ordem é \mathrm{s}^{-1} — sempre cheque as unidades.
  • Se for pedido, pode-se também calcular a meia-vida pela relação \,t_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{k}\,. Aqui, com k\approx 9,38\times10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1}, a meia-vida seria cerca de t_{1/2}\approx 74\\ \mathrm{s} (só para referência).
  • Dica prática: na prova, memorize a forma integrada [\mathrm{A}]_t=[\mathrm{A}]_0 e^{-kt} e a forma para k com logaritmo — isso economiza tempo.

Resposta

k \approx 9,38\times10^{-3}\\ \mathrm{s}^{-1}

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