Determine a constante de velocidade das seguintes reações de primeira ordem, expressas como a velocidade de perda de A:
\mathrm{A} \square \mathrm{B}, sabendo que a concentração de A decresce à metade do valor inicial em 1000 s .

Passo 1

O enunciado pede para determinar a constante de velocidade da reação \mathrm{A}\longrightarrow\mathrm{B}, expressa como a velocidade de perda de A. As informações dadas são:
  • A concentração de A decresce à metade do valor inicial em 1000\\ \mathrm{s}.
  • Ou seja, o tempo necessário para [A] ficar igual a [A]_0/2 é t_{1/2}=1000\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Vamos escrever a lei de velocidade para uma reação de primeira ordem (essa é a forma que o enunciado implica ao dizer “reações de primeira ordem”): a velocidade de perda de A é proporcional à sua concentração. Em símbolos:
-\frac{d[A]}{dt} = k\,[A].
Explicando cada coisa:
  • [A] é a concentração de A em função do tempo (por exemplo, em mol·L^{-1}).
  • t é o tempo (em segundos, \mathrm{s}).
  • k é a constante de velocidade que queremos encontrar (unidade \mathrm{s}^{-1}).
  • O sinal negativo aparece porque [A] está diminuindo com o tempo.

Passo 3

Agora vamos resolver essa equação diferencial simples passo a passo (separação de variáveis). Partimos de
-\frac{d[A]}{dt} = k\,[A].
Isolando termos para separar variáveis:
\frac{d[A]}{[A]} = -k\,dt.
Integramos ambos os lados entre o estado inicial ( t=0,\\ [A]=[A]_0) e um tempo genérico t com concentração [A](t):
\int_{[A]_0}^{[A](t)} \frac{d[A]}{[A]} = \int_{0}^{t} -k\,dt.
As integrais resultam em logaritmos:
\ln\!\left(\frac{[A](t)}{[A]_0}\right) = -k\,t.
Essa é a forma integrada da cinética de primeira ordem. Reorganizando:
[A](t) = [A]_0\,e^{-k t}.
Interpretação prática: a concentração decai exponencialmente com constante k.

Passo 4

Definição de meia-vida para primeira ordem: o tempo t_{1/2} é o tempo em que [A](t_{1/2}) = \dfrac{[A]_0}{2}. Substituindo na forma integrada:
\ln\!\left(\frac{[A]_0/2}{[A]_0}\right) = -k\,t_{1/2}.
Simplificando a fração dentro do logaritmo:
\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -k\,t_{1/2}.
Como \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\ln 2, obtemos a relação bem conhecida:
k = \frac{\ln 2}{t_{1/2}}.
Aqui:
  • \ln 2 é o logaritmo natural de 2 (número adimensional).
  • t_{1/2} tem unidade de tempo; assim k terá unidade \mathrm{s}^{-1}.

Passo 5

Agora é só substituir o valor numérico fornecido: t_{1/2}=1000\\ \mathrm{s}. Usando \ln 2 \approx 0,693147\ldots:
k = \frac{\ln 2}{1000\\ \mathrm{s}} \approx \frac{0,693147}{1000\\ \mathrm{s}} = 6,93147\times10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Arredondando de forma prática para três algarismos significativos:
k \approx 6,93\times10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1}.

Passo 6

Para fixar: a expressão da velocidade de perda de A fica
-\frac{d[A]}{dt} = k\,[A] \quad\text{com}\quad k \approx 6,93\times10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1}.
Se, por exemplo, [A]_0=1{,}0\\ \mathrm{mol\,L^{-1}}, a velocidade inicial seria aproximadamente 6,93\times10^{-4}\\ \mathrm{mol\,L^{-1}\,s^{-1}}. Força aí — já dominaste o raciocínio: partir da equação diferencial, integrar e usar a definição de meia-vida é a receita pra primeira ordem!

Resposta

\displaystyle k=\frac{\ln 2}{1000\\ \mathrm{s}}\approx6,93\times10^{-4}\\ \mathrm{s}^{-1}

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