Determine a constante de velocidade das seguintes reações de primeira ordem, expressas como a velocidade de perda de A:
, sabendo que a concentração de A decresce à metade do valor inicial em 1000 s .
Passo 1
O enunciado pede para determinar a constante de velocidade da reação
, expressa como a velocidade de perda de A. As informações dadas são:
- A concentração de A decresce à metade do valor inicial em
. - Ou seja, o tempo necessário para
ficar igual a é .
Passo 2
Vamos escrever a lei de velocidade para uma reação de primeira ordem (essa é a forma que o enunciado implica ao dizer “reações de primeira ordem”): a velocidade de perda de A é proporcional à sua concentração. Em símbolos:
Explicando cada coisa:
-
é a concentração de A em função do tempo (por exemplo, em mol·L^{-1}). -
é o tempo (em segundos, ). -
é a constante de velocidade que queremos encontrar (unidade ). - O sinal negativo aparece porque
está diminuindo com o tempo.
Passo 3
Agora vamos resolver essa equação diferencial simples passo a passo (separação de variáveis). Partimos de
Isolando termos para separar variáveis:
Integramos ambos os lados entre o estado inicial (
) e um tempo genérico
com concentração
:
As integrais resultam em logaritmos:
Essa é a forma integrada da cinética de primeira ordem. Reorganizando:
Interpretação prática: a concentração decai exponencialmente com constante
.
Passo 4
Definição de meia-vida para primeira ordem: o tempo
é o tempo em que
. Substituindo na forma integrada:
Simplificando a fração dentro do logaritmo:
Como
, obtemos a relação bem conhecida:
Aqui:
-
é o logaritmo natural de (número adimensional). -
tem unidade de tempo; assim terá unidade .
Passo 5
Agora é só substituir o valor numérico fornecido:
. Usando
:
Arredondando de forma prática para três algarismos significativos:
Passo 6
Para fixar: a expressão da velocidade de perda de A fica
Se, por exemplo,
, a velocidade inicial seria aproximadamente
. Força aí — já dominaste o raciocínio: partir da equação diferencial, integrar e usar a definição de meia-vida é a receita pra primeira ordem!