Determine as constantes
e
tais que
seja harmônica e encontre o conjugado harmônico.
Passo 1
O enunciado dá a função
(onde
e
são as partes real e imaginária de
) e pede duas coisas: (1) determinar as constantes
e
tais que
seja harmônica; (2) encontrar o conjugado harmônico de
.
Informações relevantes que o enunciado fornece: é escrita em termos de
e
, depende de uma constante
(que aparece dentro do
) e o enunciado também menciona uma constante
— essa segunda constante tipicamente será a constante aditiva do conjugado harmônico (pois conjugados harmônicos são determinados até uma constante). Não há outras informações suplementares (domínio etc.), então trabalharemos localmente e assumiremos domínio simplesmente conexo quando necessário para garantir existência de conjugado harmônico.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Passo 2
Conceito necessário (mini-aula): uma função real
é harmônica se satisfaz a equação de Laplace
Aqui
denota a derivada parcial de
em relação a
,
a segunda parcial em
, e de modo análogo para
. A ideia é calcular essas derivadas para
e impor a condição acima.
Cálculo das derivadas (passo a passo):
Derivando em
:
Derivando novamente em
:
Derivando em
:
Derivando novamente em
:
Somando:
Para que
seja harmônica devemos ter
para todos
. A função
não é identicamente zero para todos
(salvo o caso trivial), então a condição fica
Portanto
Observação didática e empática: se você esperava
real, chateante: não existe
real não nulo que satisfaça isto (exceto o caso trivial
). Para permitir solução não-trivial temos que permitir
complexo; isso é comum em problemas de funções de variável complexa onde aparecem combinações de exponenciais e senos/cossenos via argumentos imaginários.
Passo 3
Agora vamos encontrar o conjugado harmônico
. Mini-aula sobre conjugado harmônico: se
é harmônica e existe uma função
tal que
seja holomorfa (i.e. satisfaça as equações de Cauchy–Riemann), então
é um conjugado harmônico de
. As equações de Cauchy–Riemann (em termos de
e
) são
Vamos usar essas duas equações para construir
passo a passo (integração e consistência).
Temos já (repetindo para usar):
Usando
, integramos em relação a
:
onde
é uma função de
que aparece como “constante” de integração em relação a
.
Agora aplicamos a outra equação
. Primeiro calcule
:
Então
A equação
exige
Reorganizando:
Para que o lado direito dependa apenas de
(pois
não pode depender de
), precisamos que o fator multiplicativo de
seja zero:
que é exatamente a condição obtida anteriormente. Quando essa condição vale, o lado direito é zero e então
, ou seja
é constante. Assim o conjugado harmônico é
onde
é uma constante real (a constante de integração — provavelmente o
que o enunciado mencionou).
Passo 4
Resumo prático e forma mais concreta: as constantes que permitem não-trivialmente que
seja harmônica são
Para esses valores de
o conjugado harmônico (determinado até uma constante aditiva
) é
Exemplo explícito transformando para funções reais familiares (opcional, para intuir melhor): escolher
. Então
e
. Multiplicando por
ou tomando a parte imaginária/real, obtemos um par real de funções harmônicas conjugadas bem conhecidas:
que satisfazem as equações de Cauchy–Riemann e são harmônicas — esse par corresponde à escolha
e à manipulação das partes reais/imaginárias.