Determine as constantes a e b tais que f(z)=e^{3 x} \operatorname{sinh} (a y) seja harmônica e encontre o conjugado harmônico.

Passo 1

O enunciado dá a função f(z)=e^{3x}\operatorname{sinh}(a y) (onde x e y são as partes real e imaginária de z) e pede duas coisas: (1) determinar as constantes a e b tais que f seja harmônica; (2) encontrar o conjugado harmônico de f.
Informações relevantes que o enunciado fornece: f é escrita em termos de x e y, depende de uma constante a (que aparece dentro do \operatorname{sinh}) e o enunciado também menciona uma constante b — essa segunda constante tipicamente será a constante aditiva do conjugado harmônico (pois conjugados harmônicos são determinados até uma constante). Não há outras informações suplementares (domínio etc.), então trabalharemos localmente e assumiremos domínio simplesmente conexo quando necessário para garantir existência de conjugado harmônico.

Passo 2

Conceito necessário (mini-aula): uma função real u(x,y) é harmônica se satisfaz a equação de Laplace
u_{xx}+u_{yy}=0.
Aqui u_x denota a derivada parcial de u em relação a x, u_{xx} a segunda parcial em x, e de modo análogo para y. A ideia é calcular essas derivadas para u(x,y)=e^{3x}\operatorname{sinh}(a y) e impor a condição acima.
Cálculo das derivadas (passo a passo):
u(x,y)=e^{3x}\operatorname{sinh}(a y).
Derivando em x:
u_x = \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{3x}\operatorname{sinh}(a y)\big)=3e^{3x}\operatorname{sinh}(a y).
Derivando novamente em x:
u_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\big(3e^{3x}\operatorname{sinh}(a y)\big)=9e^{3x}\operatorname{sinh}(a y).
Derivando em y:
u_y=\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{3x}\operatorname{sinh}(a y)\big)=a e^{3x}\operatorname{cosh}(a y).
Derivando novamente em y:
u_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\big(a e^{3x}\operatorname{cosh}(a y)\big)=a^2 e^{3x}\operatorname{sinh}(a y).
Somando:
u_{xx}+u_{yy}=e^{3x}\operatorname{sinh}(a y)\big(9+a^2\big).
Para que u seja harmônica devemos ter u_{xx}+u_{yy}=0 para todos x,y. A função e^{3x}\operatorname{sinh}(a y) não é identicamente zero para todos x,y (salvo o caso trivial), então a condição fica
9+a^2=0.
Portanto
a^2=-9 \quad\Rightarrow\quad a=\pm 3i.
Observação didática e empática: se você esperava a real, chateante: não existe a real não nulo que satisfaça isto (exceto o caso trivial u\equiv 0). Para permitir solução não-trivial temos que permitir a complexo; isso é comum em problemas de funções de variável complexa onde aparecem combinações de exponenciais e senos/cossenos via argumentos imaginários.

Passo 3

Agora vamos encontrar o conjugado harmônico v(x,y). Mini-aula sobre conjugado harmônico: se u é harmônica e existe uma função v tal que u+iv seja holomorfa (i.e. satisfaça as equações de Cauchy–Riemann), então v é um conjugado harmônico de u. As equações de Cauchy–Riemann (em termos de u e v) são
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
Vamos usar essas duas equações para construir v passo a passo (integração e consistência).
Temos já (repetindo para usar):
u_x=3e^{3x}\operatorname{sinh}(a y),\qquad u_y=a e^{3x}\operatorname{cosh}(a y).
Usando u_x=v_y, integramos em relação a y:
v_y=3e^{3x}\operatorname{sinh}(a y)\quad\Longrightarrow\quad v(x,y)=\int 3e^{3x}\operatorname{sinh}(a y)\,dy = \frac{3}{a}e^{3x}\operatorname{cosh}(a y)+h(x),
onde h(x) é uma função de x que aparece como “constante” de integração em relação a y.
Agora aplicamos a outra equação u_y=-v_x. Primeiro calcule v_x:
v_x = \frac{\partial}{\partial x}\Big(\frac{3}{a}e^{3x}\operatorname{cosh}(a y)+h(x)\Big) = \frac{9}{a}e^{3x}\operatorname{cosh}(a y)+h'(x).
Então
-v_x = -\frac{9}{a}e^{3x}\operatorname{cosh}(a y) - h'(x).
A equação u_y=-v_x exige
a e^{3x}\operatorname{cosh}(a y) = -\frac{9}{a}e^{3x}\operatorname{cosh}(a y) - h'(x).
Reorganizando:
h'(x) = -\Big(a + \frac{9}{a}\Big)e^{3x}\operatorname{cosh}(a y).
Para que o lado direito dependa apenas de x (pois h'(x) não pode depender de y), precisamos que o fator multiplicativo de \operatorname{cosh}(a y) seja zero:
a + \frac{9}{a}=0 \quad\Longleftrightarrow\quad a^2+9=0,
que é exatamente a condição obtida anteriormente. Quando essa condição vale, o lado direito é zero e então h'(x)=0, ou seja h(x)=b é constante. Assim o conjugado harmônico é
v(x,y)=\frac{3}{a}e^{3x}\operatorname{cosh}(a y)+b,
onde b é uma constante real (a constante de integração — provavelmente o b que o enunciado mencionou).

Passo 4

Resumo prático e forma mais concreta: as constantes que permitem não-trivialmente que u(x,y)=e^{3x}\operatorname{sinh}(a y) seja harmônica são
a=\pm 3i.
Para esses valores de a o conjugado harmônico (determinado até uma constante aditiva b) é
v(x,y)=\frac{3}{a}e^{3x}\operatorname{cosh}(a y)+b.
Exemplo explícito transformando para funções reais familiares (opcional, para intuir melhor): escolher a=3i. Então \operatorname{sinh}(3i y)=i\sin(3y) e \operatorname{cosh}(3i y)=\cos(3y). Multiplicando por i ou tomando a parte imaginária/real, obtemos um par real de funções harmônicas conjugadas bem conhecidas:
U(x,y)=e^{3x}\sin(3y),\qquad V(x,y)=-e^{3x}\cos(3y)+\tilde b,
que satisfazem as equações de Cauchy–Riemann e são harmônicas — esse par corresponde à escolha a=3i e à manipulação das partes reais/imaginárias.

Resposta

a=\pm 3i\n v(x,y)=\dfrac{3}{a}e^{3x}\operatorname{cosh}(a y)+b

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