Questão [residuos1] ( 1,0 pt) Calcule \oint_{C} \frac{e^{z}}{\cos z} d z \operatorname{com} C:|z|=\frac{9}{2}.
\square -4 \pi \operatorname{sinh} \frac{\pi}{2}
\square -4 \pi \operatorname{cosh} \frac{\pi}{2} \square 2 \pi \sin \frac{\pi}{2} \square 2 \pi \cos \frac{\pi}{2} \square 4 \pi \operatorname{tanh} \frac{\pi}{2}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral de linha complexa
\oint_{C}\frac{e^{z}}{\cos z}\,dz
onde C é o círculo |z|=\frac{9}{2} (centro na origem, raio \frac{9}{2}), orientado positivamente. Informações dadas que vamos usar: a função integranda é \displaystyle \frac{e^{z}}{\cos z} e o contorno é o círculo de raio \frac{9}{2}. A tarefa é encontrar o valor dessa integral complexa fechada.

Passo 2

Ferramenta principal (teorema dos resíduos) — explicação didática: se f é meromorfa dentro e sobre um contorno fechado simples C e tem polos isolados z_k no interior de C, então
\oint_{C} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k} \operatorname{Res}\bigl(f;z_k\bigr).
Aqui \operatorname{Res}(f;z_k) é o resíduo de f no polo z_k. Isso significa: para calcular a integral, eu só preciso encontrar os polos dentro do círculo e somar seus resíduos, depois multiplicar por 2\pi i. É a forma mais rápida e prática para integrais complexas fechadas.

Passo 3

Encontrar os polos de \displaystyle \frac{e^{z}}{\cos z}: eles ocorrem quando o denominador \cos z=0. As soluções de \cos z=0 são
z = \frac{\pi}{2} + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Agora ver quais desses estão dentro do círculo |z|<\frac{9}{2}. Como \frac{\pi}{2}\approx 1{,}5708 e \pi\approx 3{,}1416, temos:
\left|\frac{\pi}{2}\right|\approx 1{,}5708 < \frac{9}{2}=4{,}5,
\left|\frac{\pi}{2}+\pi\right|=\left|\frac{3\pi}{2}\right|\approx 4{,}7124 > 4{,}5,
\left|\frac{\pi}{2}-\pi\right|=\left|-\frac{\pi}{2}\right|\approx 1{,}5708 < 4{,}5,
e os próximos \pm\frac{3\pi}{2} já têm módulo maior que 4{,}5. Portanto os polos que estão dentro do círculo são exatamente
z_1=\frac{\pi}{2}\quad\text{e}\quad z_2=-\frac{\pi}{2}.

Passo 4

Verificar que são polos simples e lembrar a fórmula do resíduo para polo simples: se g e h são holomorfas em z_0, h(z_0)=0, h'(z_0)\neq 0, e f(z)=\dfrac{g(z)}{h(z)}, então z_0 é polo simples e
\operatorname{Res}(f;z_0)=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}.
No nosso caso g(z)=e^{z} e h(z)=\cos z. A derivada h'(z)=-\sin z. Em z=\frac{\pi}{2} e z=-\frac{\pi}{2} temos \sin diferente de zero (de fato \sin\frac{\pi}{2}=1 e \sin(-\frac{\pi}{2})=-1), então os polos são simples e podemos usar a fórmula acima.

Passo 5

Calcular o resíduo em z_1=\frac{\pi}{2}:
\operatorname{Res}\Bigl(\frac{e^{z}}{\cos z};\frac{\pi}{2}\Bigr)=\frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{(\cos z)'|_{z=\frac{\pi}{2}}} =\frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{-\sin\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)} =\frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{-1} =-e^{\frac{\pi}{2}}.

Passo 6

Calcular o resíduo em z_2=-\frac{\pi}{2}:
\operatorname{Res}\Bigl(\frac{e^{z}}{\cos z};-\frac{\pi}{2}\Bigr) =\frac{e^{-\frac{\pi}{2}}}{-\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)} =\frac{e^{-\frac{\pi}{2}}}{-(-1)} =\frac{e^{-\frac{\pi}{2}}}{1} =e^{-\frac{\pi}{2}}.

Passo 7

Somar os resíduos:
\operatorname{Res}\Bigl(\frac{e^{z}}{\cos z};\tfrac{\pi}{2}\Bigr) +\operatorname{Res}\Bigl(\frac{e^{z}}{\cos z};-\tfrac{\pi}{2}\Bigr) = -e^{\frac{\pi}{2}} + e^{-\frac{\pi}{2}} = -(e^{\frac{\pi}{2}}-e^{-\frac{\pi}{2}}).
Reconhecendo a função seno hiperbólico: \operatorname{sinh} x=\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{2}, obtemos
-e^{\frac{\pi}{2}}+e^{-\frac{\pi}{2}} = -2\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Passo 8

Aplicar o teorema dos resíduos: como o somatório dos resíduos no interior vale -2\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr), a integral é
\oint_{C}\frac{e^{z}}{\cos z}\,dz =2\pi i\cdot\bigl(-2\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)\bigr) =-4\pi i\,\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr).

Resposta

-4\pi i\,\operatorname{sinh}\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)

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