O que o enunciado pede: calcular a integral de linha complexa
\oint_{C}\frac{e^{z}}{\cos z}\,dz
onde C é o círculo |z|=\frac{9}{2} (centro na origem, raio \frac{9}{2}), orientado positivamente. Informações dadas que vamos usar: a função integranda é \displaystyle \frac{e^{z}}{\cos z} e o contorno é o círculo de raio \frac{9}{2}. A tarefa é encontrar o valor dessa integral complexa fechada.
Passo 2
Ferramenta principal (teorema dos resíduos) — explicação didática: se f é meromorfa dentro e sobre um contorno fechado simples C e tem polos isolados z_k no interior de C, então
\oint_{C} f(z)\,dz = 2\pi i \sum_{k} \operatorname{Res}\bigl(f;z_k\bigr).
Aqui \operatorname{Res}(f;z_k) é o resíduo de f no polo z_k. Isso significa: para calcular a integral, eu só preciso encontrar os polos dentro do círculo e somar seus resíduos, depois multiplicar por 2\pi i. É a forma mais rápida e prática para integrais complexas fechadas.
Passo 3
Encontrar os polos de \displaystyle \frac{e^{z}}{\cos z}: eles ocorrem quando o denominador \cos z=0. As soluções de \cos z=0 são
z = \frac{\pi}{2} + k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Agora ver quais desses estão dentro do círculo |z|<\frac{9}{2}. Como \frac{\pi}{2}\approx 1{,}5708 e \pi\approx 3{,}1416, temos:
Verificar que são polos simples e lembrar a fórmula do resíduo para polo simples: se g e h são holomorfas em z_0, h(z_0)=0, h'(z_0)\neq 0, e f(z)=\dfrac{g(z)}{h(z)}, então z_0 é polo simples e
\operatorname{Res}(f;z_0)=\frac{g(z_0)}{h'(z_0)}.
No nosso caso g(z)=e^{z} e h(z)=\cos z. A derivada h'(z)=-\sin z. Em z=\frac{\pi}{2} e z=-\frac{\pi}{2} temos \sin diferente de zero (de fato \sin\frac{\pi}{2}=1 e \sin(-\frac{\pi}{2})=-1), então os polos são simples e podemos usar a fórmula acima.