Questão [residuos2] ( 1,0 pt) Encontre o valor principal de Cauchy de \int_{-\infty}^{\infty} \frac{x+2}{x^{3}+x} d x
\square \pi \square 0 \square \frac{2 \pi}{3} \square -\frac{2 \pi}{3} \square 4 \pi

Passo 1

O enunciado pede o valor principal de Cauchy da integral
\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x+2}{x^{3}+x}\,dx.
Informações importantes dadas/visíveis:
\frac{x+2}{x^{3}+x}=\frac{x+2}{x(x^{2}+1)},
portanto há singularidades em x=0 e em x=\pm i. Observação: x=0 é um polo simples sobre o eixo real, por isso a integral é imprópria e precisamos interpretar como valor principal de Cauchy (PV).

Passo 2

Estratégia de resolução (explicada passo a passo):
Usaremos um contorno semicircular no semiplano superior e o teorema dos resíduos para relacionar o integral principal à soma de resíduos. Um ponto técnico importante: quando existe um polo simples em x real que é contornado por um semicírculo pequeno no semiplano superior, a contribuição desse pequeno arco tende a -i\pi vezes o resíduo no polo; a análise do contorno mostra então a fórmula padrão
\text{PV}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 2\pi i\sum_{\substack{\text{pólos}\\Im z>0}}\operatorname{Res}(f,z) \;+\; i\pi\sum_{\substack{\text{pólos simples}\\text{sobre }\mathbb{R}}}\operatorname{Res}(f,z),óó
quando se escolhe o desvio acima dos polos reais. Vou usar exatamente essa relação: soma completa das contribuições das singularidades no semiplano superior (fator 2\pi i) mais metade (fator i\pi) da contribuição dos polos simples sobre a reta real.

Passo 3

Identificar quais resíduos entram na fórmula:
  • Polos com \Im z>0: apenas z=i.
  • Polos sobre \mathbb{R}: apenas z=0 (polo simples).
  • Polo z=-i fica no semiplano inferior e não contribui.
Agora vamos calcular \operatorname{Res}(f,0) e \operatorname{Res}(f,i) para f(z)=\dfrac{z+2}{z(z^{2}+1)}.

Passo 4

Cálculo do resíduo em z=0 (polo simples):
Para um polo simples em z=0,
\operatorname{Res}(f,0)=\lim_{z\to0} z\cdot f(z)=\lim_{z\to0}\frac{z+2}{z^{2}+1}.
Avalia-se em z=0:
\operatorname{Res}(f,0)=\frac{0+2}{0^{2}+1}=2.

Passo 5

Cálculo do resíduo em z=i (polo simples):
Note que z^{2}+1=(z-i)(z+i). Para polo simples em z=i,
\operatorname{Res}(f,i)=\lim_{z\to i}(z-i)\frac{z+2}{z(z^{2}+1)} =\lim_{z\to i}\frac{z+2}{z(z+i)}.
Agora substituímos z=i:
\operatorname{Res}(f,i)=\frac{i+2}{\,i(i+i)\,}=\frac{i+2}{i(2i)}=\frac{i+2}{2i^{2}}=\frac{i+2}{-2}=-\frac{i+2}{2}.
Simplificando:
\operatorname{Res}(f,i)=-1-\frac{i}{2}.

Passo 6

Aplicar a fórmula do Passo 2 com os resíduos calculados:
\text{PV}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{x+2}{x^{3}+x}\,dx =2\pi i\cdot\operatorname{Res}(f,i)+i\pi\cdot\operatorname{Res}(f,0).
Substituindo \operatorname{Res}(f,i)=-1-\dfrac{i}{2} e \operatorname{Res}(f,0)=2:
\text{PV}=\;2\pi i\left(-1-\frac{i}{2}\right)+i\pi\cdot 2.
Calculemos termo a termo:
2\pi i\left(-1\right)=-2\pi i,\qquad 2\pi i\left(-\frac{i}{2}\right)=-\pi i^{2}=\pi,
e
i\pi\cdot 2=2i\pi.
Somando:
\text{PV}=(-2\pi i+\pi)+2\pi i=\pi.
Repare que os termos imaginários se cancelam e sobra o resultado real \pi.

Resposta

\pi

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