Questão [residuos2] ( 1,0 pt) Encontre o valor principal de Cauchy de
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Passo 1
O enunciado pede o valor principal de Cauchy da integral
Informações importantes dadas/visíveis:
portanto há singularidades em
e em
. Observação:
é um polo simples sobre o eixo real, por isso a integral é imprópria e precisamos interpretar como valor principal de Cauchy (PV).
Passo 2
Estratégia de resolução (explicada passo a passo):
Usaremos um contorno semicircular no semiplano superior e o teorema dos resíduos para relacionar o integral principal à soma de resíduos. Um ponto técnico importante: quando existe um polo simples em real que é contornado por um semicírculo pequeno no semiplano superior, a contribuição desse pequeno arco tende a
vezes o resíduo no polo; a análise do contorno mostra então a fórmula padrão
Usaremos um contorno semicircular no semiplano superior e o teorema dos resíduos para relacionar o integral principal à soma de resíduos. Um ponto técnico importante: quando existe um polo simples em
quando se escolhe o desvio acima dos polos reais. Vou usar exatamente essa relação: soma completa das contribuições das singularidades no semiplano superior (fator
) mais metade (fator
) da contribuição dos polos simples sobre a reta real.
Passo 3
Identificar quais resíduos entram na fórmula:
- Polos com
: apenas . - Polos sobre
: apenas (polo simples). - Polo
fica no semiplano inferior e não contribui.
Agora vamos calcular
e
para
.
Passo 4
Cálculo do resíduo em
(polo simples):
Para um polo simples em ,
Para um polo simples em
Avalia-se em
:
Passo 5
Cálculo do resíduo em
(polo simples):
Note que . Para polo simples em
,
Note que
Agora substituímos
:
Simplificando:
Passo 6
Aplicar a fórmula do Passo 2 com os resíduos calculados:
Substituindo
e
:
Calculemos termo a termo:
e
Somando:
Repare que os termos imaginários se cancelam e sobra o resultado real
.