Determine as constantes a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3} e a_{4}. de modo que:
3 x^{4}-17 x^{3}-35 x^{2}-32 x+17=a_{4}(x-1)^{4}+a_{3}(x-1)^{3}+a_{2}(x-1)^{2}-a_{1}(x-1)+a_{0} .

Passo 1

O problema pede para encontrar as constantes a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4} tais que, para todo x,
3x^{4}-17x^{3}-35x^{2}-32x+17 = a_{4}(x-1)^{4}+a_{3}(x-1)^{3}+a_{2}(x-1)^{2}-a_{1}(x-1)+a_{0}.
Informações dadas que vamos usar:
  • O polinômio do lado esquerdo é p(x)=3x^{4}-17x^{3}-35x^{2}-32x+17.
  • O lado direito está escrito em potências de (x-1); o termo linear aparece com coeficiente -a_{1}.
  • Como a igualdade vale para todo x, os coeficientes de potências iguais de (x-1) em ambos os lados coincidem.

Passo 2

Estratégia (simples e direta): faça a mudança de variável
y=x-1,
ou seja x=y+1. Assim expressamos p(x) como polinômio em y (potências de (x-1)). Depois comparamos coeficientes em y^{4},y^{3},y^{2},y,1 com os coeficientes a_{4},a_{3},a_{2},-a_{1},a_{0}. Isso evita cálculo de derivadas e é totalmente algébrico.

Passo 3

Calcule as potências binomiais necessárias (fórmula do binômio de Newton; explico rápido: (y+1)^{n} é soma dos termos com coeficientes binomiais):
(y+1)^{4}=y^{4}+4y^{3}+6y^{2}+4y+1,
(y+1)^{3}=y^{3}+3y^{2}+3y+1,
(y+1)^{2}=y^{2}+2y+1,
(y+1)=y+1.
Essas fórmulas vêm de multiplicar e agrupar termos ou de \binom{n}{k}.

Passo 4

Substitua x=y+1 em p(x) e multiplique cada termo:
p(y+1)=3(y+1)^{4}-17(y+1)^{3}-35(y+1)^{2}-32(y+1)+17.
Agora use as expansões do passo anterior e multiplique termo a termo:
  • 3(y+1)^{4}=3(y^{4}+4y^{3}+6y^{2}+4y+1)=3y^{4}+12y^{3}+18y^{2}+12y+3.
  • -17(y+1)^{3}=-17(y^{3}+3y^{2}+3y+1)=-17y^{3}-51y^{2}-51y-17.
  • -35(y+1)^{2}=-35(y^{2}+2y+1)=-35y^{2}-70y-35.
  • -32(y+1)=-32y-32.
  • +17 fica como constante.

Passo 5

Some os termos semelhantes (coeficientes de cada potência de y). Agrupando:
Coeficiente de y^{4}:
3.
Coeficiente de y^{3}:
12 + (-17) = -5.
Coeficiente de y^{2}:
18 + (-51) + (-35) = 18 -86 = -68.
Coeficiente de y:
12 + (-51) + (-70) + (-32) = 12 -153 = -141.
Termo constante:
3 + (-17) + (-35) + (-32) + 17 = 3 -17 -35 -32 +17 = -64.
Logo obtivemos
p(y+1)=3y^{4}-5y^{3}-68y^{2}-141y-64.

Passo 6

Reescreva o lado direito da igualdade original em função de y (lembre y=x-1):
a_{4}(x-1)^{4}+a_{3}(x-1)^{3}+a_{2}(x-1)^{2}-a_{1}(x-1)+a_{0} = a_{4}y^{4}+a_{3}y^{3}+a_{2}y^{2}-a_{1}y+a_{0}.

Passo 7

Como a igualdade vale para todo x (logo para todo y), os coeficientes das potências iguais de y coincidem. Compare termo a termo entre
3y^{4}-5y^{3}-68y^{2}-141y-64
e
a_{4}y^{4}+a_{3}y^{3}+a_{2}y^{2}-a_{1}y+a_{0}.

Passo 8

Igualando coeficientes obtemos:
a_{4}=3,
a_{3}=-5,
a_{2}=-68,
- a_{1}=-141 \quad\Rightarrow\quad a_{1}=141,
a_{0}=-64.

Resposta

a_{0}=-64
a_{1}=141
a_{2}=-68
a_{3}=-5
a_{4}=3

Exercícios relacionados