Determine as constantes
e
. de modo que:
Passo 1
O problema pede para encontrar as constantes
tais que, para todo
,
Informações dadas que vamos usar:
- O polinômio do lado esquerdo é
. - O lado direito está escrito em potências de
; o termo linear aparece com coeficiente . - Como a igualdade vale para todo
, os coeficientes de potências iguais de em ambos os lados coincidem.
Passo 2
Estratégia (simples e direta): faça a mudança de variável
ou seja
. Assim expressamos
como polinômio em
(potências de
). Depois comparamos coeficientes em
com os coeficientes
. Isso evita cálculo de derivadas e é totalmente algébrico.
Passo 3
Calcule as potências binomiais necessárias (fórmula do binômio de Newton; explico rápido:
é soma dos termos com coeficientes binomiais):
Essas fórmulas vêm de multiplicar e agrupar termos ou de
.
Passo 4
Substitua
em
e multiplique cada termo:
Agora use as expansões do passo anterior e multiplique termo a termo:
-
-
-
-
-
fica como constante.
Passo 5
Some os termos semelhantes (coeficientes de cada potência de
). Agrupando:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Termo constante:
Logo obtivemos
Passo 6
Reescreva o lado direito da igualdade original em função de
(lembre
):
Passo 7
Como a igualdade vale para todo
(logo para todo
), os coeficientes das potências iguais de
coincidem. Compare termo a termo entre
e
Passo 8
Igualando coeficientes obtemos: