Represente as seguintes funçōes em séries de potencias de
:
(a)
(b)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede: representar em séries de potências de
as três funções abaixo, ou seja, escrever cada função como uma soma da forma
. As funções são:
(a)
(b) (vou escrever
nas fórmulas)
(c)
(a)
(b)
(c)
Passo 2
Ferramenta principal (aqui aprendo contigo): a série de Maclaurin (expansão em torno de
) de funções elementares que usamos com frequência. Dois casos que vamos usar diretamente:
A) Série de
:
onde
é uma variável qualquer. Isso significa que, se você tiver
de algo, pode substituir esse “algo” por
na série acima.
B) Série de
:
Aqui a série só tem potências ímpares de
. Ambas as séries convergem para todo
(raio de convergência infinito), então podemos substituir
por qualquer expressão em
sem problema — desde que façamos as manipulações com cuidado.
Também, lembrando a ideia: ao substituir
alguma expressão em
, a série em
vira uma série em
com potências e coeficientes correspondentes.
Passo 3
Resolver (a)
.
- Parto da série de
com . Substituindo em tenho
- Simplifico
. Logo
- Para visualizar, escrevo os primeiros termos (substituindo
):
- Observação sobre convergência: como a série de
converge para todo , esta também converge para todo (raio de convergência infinito).
Passo 4
Resolver (b)
.
- Uso a série de
com :
- Multiplico por
:
- Reescrevendo, a série apresenta apenas potências pares a partir de
. Escrevendo os primeiros termos (para ):
- Novamente, como
tem série com raio de convergência infinito, o produto por também converge para todo .
Passo 5
Resolver (c)
.
- Primeiro reescrevo
de forma conveniente:
- Uso a representação exponencial
(porque para ). Assim
- Agora uso a série de
com :
- Multiplicando por
:
- Para ver os primeiros termos:
- Como é uma exponencial em
, a série também converge para todo (raio de convergência infinito).
Resposta
(a)
(b)
(c)