Represente as seguintes funçōes em séries de potencias de x :
(a) f(x)=e^{-x^{2}}
(b) f(x)=x \operatorname{sen} x
(c) f(x)=3^{x-1}

Passo 1

O enunciado pede: representar em séries de potências de x as três funções abaixo, ou seja, escrever cada função como uma soma da forma \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n. As funções são:
(a) f(x)=e^{-x^{2}}
(b) f(x)=x\,\operatorname{sen} x (vou escrever \sin x nas fórmulas)
(c) f(x)=3^{x-1}

Passo 2

Ferramenta principal (aqui aprendo contigo): a série de Maclaurin (expansão em torno de 0) de funções elementares que usamos com frequência. Dois casos que vamos usar diretamente:
A) Série de \,e^{t}\,:
e^{t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!},
onde t é uma variável qualquer. Isso significa que, se você tiver e de algo, pode substituir esse “algo” por t na série acima.
B) Série de \,\sin t\,:
\sin t=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Aqui a série só tem potências ímpares de t. Ambas as séries convergem para todo t (raio de convergência infinito), então podemos substituir t por qualquer expressão em x sem problema — desde que façamos as manipulações com cuidado.
Também, lembrando a ideia: ao substituir t= alguma expressão em x, a série em t vira uma série em x com potências e coeficientes correspondentes.

Passo 3

Resolver (a) f(x)=e^{-x^{2}}.
  1. Parto da série de e^{t} com t=-x^{2}. Substituindo t=-x^{2} em \,e^{t}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!}\, tenho
e^{-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-x^{2})^{n}}{n!}.
  1. Simplifico (-x^{2})^{n}=(-1)^{n}x^{2n}. Logo
e^{-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{n!}.
  1. Para visualizar, escrevo os primeiros termos (substituindo n=0,1,2,3):
e^{-x^{2}}=1 - x^{2} + \frac{x^{4}}{2!} - \frac{x^{6}}{3!} + \cdots.
  1. Observação sobre convergência: como a série de e^{t} converge para todo t, esta também converge para todo x (raio de convergência infinito).

Passo 4

Resolver (b) f(x)=x\,\sin x.
  1. Uso a série de \sin t com t=x:
\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
  1. Multiplico por x:
x\sin x = x\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+2}}{(2n+1)!}.
  1. Reescrevendo, a série apresenta apenas potências pares a partir de x^{2}. Escrevendo os primeiros termos (para n=0,1,2):
x\sin x = x^{2} - \frac{x^{4}}{3!} + \frac{x^{6}}{5!} - \cdots.
  1. Novamente, como \sin x tem série com raio de convergência infinito, o produto por x também converge para todo x.

Passo 5

Resolver (c) f(x)=3^{x-1}.
  1. Primeiro reescrevo 3^{x-1} de forma conveniente:
3^{x-1} = 3^{-1}\,3^{x} = \frac{1}{3}\,3^{x}.
  1. Uso a representação exponencial 3^{x}=e^{x\ln 3} (porque a^{x}=e^{x\ln a} para a>0). Assim
3^{x-1}=\frac{1}{3}e^{x\ln 3}.
  1. Agora uso a série de e^{t} com t=x\ln 3:
e^{x\ln 3}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(x\ln 3)^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\ln 3)^{n}}{n!}x^{n}.
  1. Multiplicando por 1/3:
3^{x-1}=\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\ln 3)^{n}}{n!}x^{n} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\ln 3)^{n}}{3\,n!}x^{n}.
  1. Para ver os primeiros termos:
3^{x-1}=\frac{1}{3} + \frac{\ln 3}{3}\,x + \frac{(\ln 3)^{2}}{3\cdot 2!}\,x^{2} + \cdots.
  1. Como é uma exponencial em x, a série também converge para todo x (raio de convergência infinito).

Resposta

(a) \displaystyle e^{-x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{n!}=1 - x^{2} + \frac{x^{4}}{2!} - \frac{x^{6}}{3!} + \cdots
(b) \displaystyle x\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{x^{2n+2}}{(2n+1)!}=x^{2}-\frac{x^{4}}{3!}+\frac{x^{6}}{5!}-\cdots
(c) \displaystyle 3^{x-1}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\ln 3)^{n}}{3\,n!}x^{n}=\frac{1}{3}+\frac{\ln 3}{3}x+\frac{(\ln 3)^{2}}{3\cdot 2!}x^{2}+\cdots

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