\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular (ou provar) o valor da série infinita
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!},
ou seja, encontrar o número para o qual a soma das parcelas \frac{n}{(n+1)!} converge quando n vai de 1 a +\infty. As informações/dados que temos são apenas a expressão geral do termo \frac{n}{(n+1)!} e a definição usual de fatorial (por exemplo, (n+1)!=(n+1)n!). Não há figuras nem tabelas.

Passo 2

Vamos transformar algebraicamente cada termo \frac{n}{(n+1)!} numa forma que facilite a soma. Escrevo n como n+1-1 e divido por (n+1)!:
\frac{n}{(n+1)!}=\frac{n+1-1}{(n+1)!}=\frac{n+1}{(n+1)!}-\frac{1}{(n+1)!}.
Agora uso a propriedade de fatorial (n+1)!=(n+1)\,n!, então
\frac{n+1}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}.
Portanto cada termo pode ser reescrito como
\frac{n}{(n+1)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}.
Essa reescrita é a chave: ela separa o termo em diferença de duas parcelas com fatorial no denominador.

Passo 3

Defino a soma parcial até N:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\frac{n}{(n+1)!}.
Substituindo a identidade obtida no passo anterior:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\left(\frac{1}{n!}-\frac{1}{(n+1)!}\right).
Escrevo explicitamente os primeiros termos para ver o padrão:
S_N=\left(\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}\right)+\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right)+\left(\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{N!}-\frac{1}{(N+1)!}\right).

Passo 4

Observe que nesta soma muitos termos se cancelam: o -\frac{1}{2!} do primeiro parêntese cancela com o +\frac{1}{2!} do segundo, o -\frac{1}{3!} cancela com o +\frac{1}{3!} do terceiro, e assim por diante. Esse fenômeno chama-se telescoping (soma telescópica). Depois dos cancelamentos sobra apenas:
S_N=\frac{1}{1!}-\frac{1}{(N+1)!}.
Para fixar a intuição, se N=3 temos
S_3=\left(\frac{1}{1!}-\frac{1}{2!}\right)+\left(\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\right)+\left(\frac{1}{3!}-\frac{1}{4!}\right)=\frac{1}{1!}-\frac{1}{4!}.

Passo 5

Agora tomo o limite quando N\to\infty. A sequência (N+1)! tende a +\infty quando N\to\infty (o fatorial cresce sem limite), portanto a sua recíproca tende a 0:
\lim_{N\to\infty}\frac{1}{(N+1)!}=0.
Assim, passando ao limite em S_N,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{(n+1)!}=\lim_{N\to\infty}S_N=\lim_{N\to\infty}\left(\frac{1}{1!}-\frac{1}{(N+1)!}\right)=\frac{1}{1!}-0=1.

Resposta

1

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