\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)!}=1
Passo 1
O enunciado pede para calcular (ou provar) o valor da série infinita
ou seja, encontrar o número para o qual a soma das parcelas
converge quando
vai de
a
. As informações/dados que temos são apenas a expressão geral do termo
e a definição usual de fatorial (por exemplo,
). Não há figuras nem tabelas.
Passo 2
Vamos transformar algebraicamente cada termo
numa forma que facilite a soma. Escrevo
como
e divido por
:
Agora uso a propriedade de fatorial
, então
Portanto cada termo pode ser reescrito como
Essa reescrita é a chave: ela separa o termo em diferença de duas parcelas com fatorial no denominador.
Passo 3
Defino a soma parcial até
:
Substituindo a identidade obtida no passo anterior:
Escrevo explicitamente os primeiros termos para ver o padrão:
Passo 4
Observe que nesta soma muitos termos se cancelam: o
do primeiro parêntese cancela com o
do segundo, o
cancela com o
do terceiro, e assim por diante. Esse fenômeno chama-se telescoping (soma telescópica). Depois dos cancelamentos sobra apenas:
Para fixar a intuição, se
temos
Passo 5
Agora tomo o limite quando
. A sequência
tende a
quando
(o fatorial cresce sem limite), portanto a sua recíproca tende a
:
Assim, passando ao limite em
,