Determine o consumo de potência devido aos efeitos viscosos de um mancal com eixo de diâmetro de
apoiado em mancal com comprimento de 30 mm e diâmetro interno de
, eixo e mancal são concêntricos. Na folga entre eixo e mancal é completamente preenchido com óleo newtoniano e viscosidade de
, o eixo gira a
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Determinar o consumo de potência devido aos efeitos viscosos no mancal (ou seja, a potência dissipada pelo cisalhamento do óleo entre eixo e mancal).
Informações fornecidas (peguei todos os números do enunciado):
- Diâmetro do eixo:
. - Comprimento do mancal:
. - Diâmetro interno do mancal:
. - Fluido plenamente preenchendo a folga, óleo newtoniano com viscosidade dinâmica
. - Velocidade de rotação do eixo:
.
Observação importante sobre os dados:
- Com os números tal como estão, o diâmetro do eixo (
) é maior que o diâmetro interno do mancal ( ), o que tornaria impossível a existência da folga preenchida por óleo (o eixo não caberia no mancal). Portanto há uma inconsistência óbvia nos dados do enunciado. - Para poder resolver o problema numericamente vou assumir que houve uma inversão provável nos números e que o caso pretendido é o usual: o eixo é o menor e o mancal tem diâmetro interno maior. Assim farei a suposição explícita abaixo e prosseguirei com ela (não alterei outros dados).
- Suposição adotada:
e . - Se o enunciado original realmente tiver outra intenção, os resultados numéricos mudam; a fórmula geral que vou deduzir serve para qualquer par de diâmetros, basta substituir os valores corretos.
- Suposição adotada:
Passo 2
Qual método vamos usar (resumo e motivo, sem cálculo ainda):
- Para um eixo cilíndrico girando concêntricamente dentro de um cilindro estacionário, preenchido por fluido newtoniano e assumindo escoamento estacionário e totalmente desenvolvido puramente azimutal (sem movimentos radiais ou axiais significativos), o regime é o escoamento de Couette em anel cilíndrico. Existe solução analítica para a velocidade azimutal
. - A partir da solução de
obtém-se a tensão de cisalhamento . O torque necessário para vencer o atrito viscoso é obtido integrando a tensão de cisalhamento na superfície do eixo; a potência dissipada é , produto do torque pela velocidade angular. - Vou deduzir passo a passo a expressão analítica do torque e da potência (essa dedução é a ferramenta que você precisa saber para aplicar no prova).
Passo 3
Equações e solução para o campo de velocidades (aula curta):
- Considere coordenadas cilíndricas
onde
e são constantes determinadas pelas condições de contorno. - Condições de contorno (com a suposição que fiz):
- Na superfície do eixo (raio interno)
: , onde é a velocidade angular do eixo em . - Na parede interna do mancal (raio externo)
: (mancal estacionário).
- Na superfície do eixo (raio interno)
- Aplicando as duas condições:
Da segunda equação segue (B = -A R_o^2]. Substituindo na primeira:
Assim
]
Passo 4
Tensão de cisalhamento e torque (continuação didática):
- A componente de tensão de cisalhamento relevante no escoamento azimutal é
. Para fluido newtoniano, em coordenadas cilíndricas, - Para
temos Logo - O torque por unidade de comprimento agindo sobre o eixo (torque por comprimento
) é a tensão de cisalhamento na superfície do eixo vezes a área de contato cilindríca por unidade de comprimento: - Usando o valor de
encontrado: onde escrevi o denominador como para manter o resultado positivo (já que ).
Passo 5
Potência dissipada (fórmula final simbólica) e interpretação:
- O torque total para o mancal de comprimento
é . A potência dissipata por efeito viscoso é o produto do torque pela velocidade angular: Substituindo obtemos a fórmula útil - Explicação das variáveis (para ficar claro):
-
é a viscosidade dinâmica do fluido ( ). -
é a velocidade angular do eixo em , relacionada a (rpm) por . -
é o raio do eixo (metade do diâmetro do eixo). -
é o raio interno do mancal (metade do diâmetro interno do mancal). -
é o comprimento do mancal (m).
-
- Observação prática: essa fórmula assume escoamento laminar, concêntrico, sem efeitos de borda significativos (extremos do mancal), e sem pressão axial — condições típicas para uma estimativa de perda por viscosidade.
Passo 6
Conversões de unidades com a suposição adotada:
- Converter as medidas em polegadas para metros (peguei as frações do enunciado e usei
). - Supondo
: Então . (Observação: é mais direto trabalhar com raios; mais abaixo uso ao quadrado.) - Supondo
: - Comprimento
. - Viscosidade
(já em SI). - Velocidade angular:
Passo 7
Cálculos numéricos (passo a passo, sem pular contas):
- Primeiro calcule
e : (atenção: este valor corresponde ao raio; na dedução anterior usei diretamente raios—aqui confirmei o valor numérico) - Calcule a diferença
: - Calcule o produto
: (mantive precisão suficiente para o resultado final) - Calcule
: - Agora avalie numerador e denominador da fórmula:
Substituindo números: Calcule etapa a etapa:
- Finalmente a potência:
(arredondando com coerência entre casas significativas)
Observação sobre pequenas diferenças com aproximações anteriores: dependendo do uso direto de diâmetros ou de arredondamentos intermediários, o resultado numérico pode variar ligeiramente (milésimos de watt). O valor calculado acima é da ordem de alguns miliwatts.
Passo 8
Interpretação final e checagem rápida de ordem de grandeza:
- O resultado indica que a potência dissipada por atrito viscoso é muito pequena (alguns mW) dado que a viscosidade é baixa (
, típica de óleo leve), a folga é relativamente grande em relação ao eixo e o comprimento é curto. - Se o enunciado original tivesse as dimensões trocadas (eixo maior que mancal), então não há folga e o problema não faria sentido físico — é por isso que fiz a suposição de troca.