Determine se f é contínua:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\operatorname{sen}(x y)}{y} & , \text { se } y>0 \\operatorname{sen}(x) & , \text { se } y \leq 0\end{array}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a função é contínua. A função é dada por
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{\sin(xy)}{y}, & \text{se } y>0,\\[6pt] \sin(x), & \text{se } y\le 0. \end{cases}
As perguntas implícitas que vou responder: em quais pontos de \mathbb{R}^2 a função f é contínua e em quais pontos não é contínua?
As informações relevantes são exatamente a definição por partes acima.]

Passo 2

Lembrete rápido (definição de continuidade em \mathbb{R}^2 que vou usar). Uma função f é contínua em um ponto (x_0,y_0) se
\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y)=f(x_0,y_0),
isto é, o valor de f quando nos aproximamos de (x_0,y_0) por qualquer caminho deve tender ao valor que f tem em (x_0,y_0).

Passo 3

Continuidade quando y>0.
Explicação didática: a função (x,y)\mapsto \sin(xy) é contínua em todo \mathbb{R}^2 porque é composição e produto de funções contínuas. Se y_0>0, existe uma vizinhança de (x_0,y_0) onde y permanece >0, portanto y não se anula nessa vizinhança. Dividir a função contínua \sin(xy) por a função contínua y que não é zero nessa vizinhança produz uma função contínua.
Conclusão: f é contínua em todo ponto com y>0.

Passo 4

Continuidade quando y<0.
Explicação didática: para y\le 0 a definição usa f(x,y)=\sin(x). A função (x,y)\mapsto \sin(x) depende apenas de x e é contínua em todo \mathbb{R}^2. Em particular, é contínua em todos os pontos com y<0.
Conclusão: f é contínua em todo ponto com y<0.

Passo 5

Possível problema: a linha de fronteira y=0. Temos que analisar pontos (a,0) com a\in\mathbb{R}. Para esses pontos a definição dá f(a,0)=\sin(a) (pois y\le0 inclui y=0). Vamos estudar o limite \lim_{(x,y)\to(a,0)} f(x,y) e verificar se é igual a \sin(a).

Passo 6

Limite vindo de cima ( y>0).
Calculo didático: para y>0 escrevemos
\frac{\sin(xy)}{y} = x\cdot\frac{\sin(xy)}{xy}.
Se (x,y)\to(a,0) então xy\to a\cdot 0=0, e usa-se o fato clássico \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{\sin u}{u}=1. Assim
\lim_{\substack{(x,y)\to(a,0)\\\ y>0}} \frac{\sin(xy)}{y} = \lim_{\substack{(x,y)\to(a,0)\\\ y>0}} x\cdot\frac{\sin(xy)}{xy} = a\cdot 1 = a.
Portanto o limite vindo de pontos com y>0 vale a.

Passo 7

Limite vindo de baixo ( y\le 0).
Para (x,y) com y\le 0 temos f(x,y)=\sin(x). Logo ao aproximar (x,y)\to(a,0) por pontos com y\le0 obtemos
\lim_{\substack{(x,y)\to(a,0)\\\ y\le0}} f(x,y)=\lim_{x\to a}\sin(x)=\sin(a).
Ou seja, o limite vindo de baixo vale \sin(a).

Passo 8

Comparando os limites laterais na fronteira: vem de cima dá a e vem de baixo dá \sin(a). Para que o limite total exista (e seja igual ao valor f(a,0)=\sin(a)) é necessário e suficiente que
a=\sin(a).
Agora, quando isso acontece? Vamos analisar a equação a=\sin(a).
Explicação didática/argumento: considere g(a)=a-\sin(a). Então g'(a)=1-\cos(a)\ge 0 para todo a, com igualdade apenas em pontos onde \cos(a)=1. Assim g é não decrescente e g(0)=0. Pelo fato clássico de que \sin(x)<x para todo x>0 e \sin(x)>x para todo x<0, concluímos que a única solução de a=\sin(a) é a=0. Portanto somente em a=0 os dois limites coincidem.

Passo 9

Conclusão sobre continuidade na fronteira:
  • Em a=0 (isto é, no ponto (0,0)) temos limite vindo de cima igual a 0 e vindo de baixo igual a \sin(0)=0. Assim
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0),
logo f é contínua em (0,0). (Um modo prático de ver isso é notar que para y>0 vale \dfrac{\sin(xy)}{y}=x\cdot\frac{\sin(xy)}{xy} que tende a x quando y\to0, e como neste caso x\to0, tudo tende a 0.)
  • Para a\neq 0 temos limite vindo de cima igual a a e valor f(a,0)=\sin(a), com a\neq\sin(a); portanto o limite total não existe (ou não coincide com o valor), logo f é descontínua em (a,0).

Passo 10

Resumo final (forma amigável): f é contínua em todos os pontos com y\ne 0 (tanto y>0 quanto y<0), e também é contínua no ponto (0,0). Para qualquer ponto da forma (a,0) com a\ne 0, f é descontínua.

Resposta

A função f é contínua em todo \mathbb{R}^2 exceto nos pontos (a,0) com a\neq 0.
Equivalente: contínua em \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\\ y\neq 0\}\cup\{(0,0)\} e descontínua em \{(a,0):a\neq 0\}.

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