Calcule o limite ou determine se não existe:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x^{2} \operatorname{sen}(y)}{x^{2}+y^{2}}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite ou decidir que ele não existe do seguinte quociente quando (x,y) se aproxima de (0,0):
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^{2}\sin(y)}{x^{2}+y^{2}}.
Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=\dfrac{x^{2}\sin(y)}{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto de interesse é (0,0).
  • Precisa-se determinar o valor do limite se existir, ou concluir que não existe.

Passo 2

Breve lembrete conceitual (útil para a prova): para limites em várias variáveis, o limite existe e vale L se, ao aproximar (x,y) de (0,0) por QUALQUER caminho, o valor da função tende sempre ao mesmo L. Uma técnica prática é passar para coordenadas polares porque aí a distância ao ponto é um único parâmetro r que tende a zero; isso permite controlar o comportamento da função independentemente da direção (ângulo).

Passo 3

Vamos trocar para coordenadas polares. Definimos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r\ge 0 e \theta é o ângulo. Quando (x,y)\to(0,0) isso corresponde a r\to 0^+ (o ângulo \theta pode ser qualquer valor). Substituindo na função:
x^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta,\qquad \sin(y)=\sin(r\sin\theta),\qquad x^{2}+y^{2}=r^{2}.

Passo 4

Substituindo tudo na expressão do limite obtemos, para r>0,
\frac{x^{2}\sin(y)}{x^{2}+y^{2}}=\frac{r^{2}\cos^{2}\theta\;\sin(r\sin\theta)}{r^{2}}=\cos^{2}\theta\;\sin(r\sin\theta).
Portanto o limite quando (x,y)\to(0,0) equivale ao limite quando r\to 0^+ da função
g(r,\theta)=\cos^{2}\theta\;\sin(r\sin\theta).

Passo 5

Agora controlamos \sin(r\sin\theta). Usamos a desigualdade básica do seno (válida para todo t\in\mathbb{R}):
|\sin t|\le |t|.
Aplicando com t=r\sin\theta temos
\big|\sin(r\sin\theta)\big|\le |r\sin\theta|\le r\cdot|\sin\theta|\le r,
pois |\sin\theta|\le 1. Assim
\big|g(r,\theta)\big|=\big|\cos^{2}\theta\;\sin(r\sin\theta)\big|\le \cos^{2}\theta\cdot r\le r,
porque \cos^{2}\theta\le 1. Como o lado direito r tende a 0 quando r\to 0^+, pelo Teorema do Confronto (squeeze), concluímos que g(r,\theta)\to 0 quando r\to 0^+, independentemente de \theta. Portanto o limite existe e vale 0.

Passo 6

Comentário prático: verificar alguns caminhos dá a mesma conclusão rápida — por exemplo, se y=0 a função é 0; se y=mx a expressão também tende a 0. A demonstração via coordenadas polares e a desigualdade |\sin t|\le|t| é a forma elegante e rigorosa que serve em prova.

Resposta

0

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