Determine se f é contínua:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}x+x y & , \text { se } x>0 \\\ x^{2} y & , \text { se } x \leq 0\end{array}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função
f(x,y)=\begin{cases} x+xy, & \text{se } x>0,\\[4pt] x^{2}y, & \text{se } x\le 0, \end{cases}
é contínua.
Informações fornecidas:
  • A função está definida por duas expressões dependendo do sinal de x.
  • Para x>0 vale f(x,y)=x(1+y).
  • Para x\le 0 vale f(x,y)=x^{2}y.
    A pergunta é: para quais pontos (x,y)\in\mathbb{R}^2 a função f é contínua?]

Passo 2

Análise nos pontos onde x>0 e x<0 (regiões abertas): explicando a ideia usada.
Fórmula importante: uma combinação (produto, soma, etc.) de funções contínuas é contínua. Em particular, polinômios em x,y são contínuos em toda parte.
  • Para x>0 temos \,f(x,y)=x(1+y)\,. Isso é um produto/soma de funções polinomiais em x e y, logo é contínuo em todo o conjunto \{(x,y):x>0\}.
  • Para x<0 temos \,f(x,y)=x^{2}y, também polinomial, logo contínuo em \{(x,y):x<0\}.
    Portanto não há problema de continuidade nas partes estritamente à direita ou à esquerda do eixo x=0.

Passo 3

Falta verificar a continuidade na fronteira entre as duas regiões, isto é, nos pontos com x=0. Precisamos mostrar que, para todo ponto fixo (0,y_0), vale
\lim_{(x,y)\to(0,y_0)} f(x,y)=f(0,y_0).
Primeiro calcule o valor da função no ponto: como x\le 0 na definição da segunda ramificação, temos
f(0,y_0)=0^{2}\,y_0=0.

Passo 4

Agora vou provar a existência do limite usando uma estimativa uniforme (prova do tipo épsilon‑delta, mas com a estimativa que dá a escolha do \delta). Seja um ponto fixo (0,y_0). Tome \varepsilon>0 qualquer. Escolhemos \delta com 0<\delta\le 1 e que satisfaz
\delta \le \frac{\varepsilon}{2+|y_0|}.
Considere qualquer (x,y) com \sqrt{(x-0)^2+(y-y_0)^2}<\delta. Da condição |y-y_0|<\delta\le 1 segue |y|\le |y_0|+1. Agora fazemos uma estimativa que vale tanto para x>0 quanto para x\le 0.
Se x>0, então
|f(x,y)|=|x(1+y)|\le |x|\,(1+|y|).
Se x\le 0, então
|f(x,y)|=|x^2 y|\le |x|^2 |y|\le |x|\,|y|.
Em ambos os casos podemos usar o mesmo majorante simples:
|f(x,y)|\le |x|\,(2+|y_0|),
pois 1+|y|\le 1+(|y_0|+1)=2+|y_0| e |x|\,|y|\le |x| (|y_0|+1)\le |x|(2+|y_0|). Como |x|\le \sqrt{(x-0)^2+(y-y_0)^2}<\delta, obtemos
|f(x,y)|\le \delta(2+|y_0|)\le \varepsilon.
Isso mostra que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que \|(x,y)-(0,y_0)\|<\delta implica |f(x,y)-0|<\varepsilon. Logo
\lim_{(x,y)\to(0,y_0)} f(x,y)=0=f(0,y_0).
Portanto f é contínua em todo ponto da forma (0,y_0).

Passo 5

Juntando os resultados:
  • f é contínua em \{x>0\} e em \{x<0\} porque são expressões polinomiais nessas regiões.
  • f é contínua em todos os pontos da fronteira \{x=0\} pelo cálculo do limite acima.
    Conclusão: f é contínua em toda a reta x=0 e nas duas metades restantes, ou seja, em todo \mathbb{R}^2.

Resposta

f é contínua em todo \mathbb{R}^2.

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