Determine se
é contínua:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a função
é contínua.
Informações fornecidas:
Informações fornecidas:
- A função está definida por duas expressões dependendo do sinal de
. - Para
vale . - Para
vale .
A pergunta é: para quais pontosa função é contínua?]
Passo 2
Análise nos pontos onde
e
(regiões abertas): explicando a ideia usada.
Fórmula importante: uma combinação (produto, soma, etc.) de funções contínuas é contínua. Em particular, polinômios em são contínuos em toda parte.
Fórmula importante: uma combinação (produto, soma, etc.) de funções contínuas é contínua. Em particular, polinômios em
- Para
temos . Isso é um produto/soma de funções polinomiais em e , logo é contínuo em todo o conjunto . - Para
temos , também polinomial, logo contínuo em .
Portanto não há problema de continuidade nas partes estritamente à direita ou à esquerda do eixo.
Passo 3
Falta verificar a continuidade na fronteira entre as duas regiões, isto é, nos pontos com
. Precisamos mostrar que, para todo ponto fixo
, vale
Primeiro calcule o valor da função no ponto: como
na definição da segunda ramificação, temos
Passo 4
Agora vou provar a existência do limite usando uma estimativa uniforme (prova do tipo épsilon‑delta, mas com a estimativa que dá a escolha do
). Seja um ponto fixo
. Tome
qualquer. Escolhemos
com
e que satisfaz
Considere qualquer
com
. Da condição
segue
. Agora fazemos uma estimativa que vale tanto para
quanto para
.
Se
, então
Se
, então
Em ambos os casos podemos usar o mesmo majorante simples:
pois
e
. Como
, obtemos
Isso mostra que para todo
existe
tal que
implica
. Logo
Portanto
é contínua em todo ponto da forma
.
Passo 5
Juntando os resultados:
-
é contínua em e em porque são expressões polinomiais nessas regiões. -
é contínua em todos os pontos da fronteira pelo cálculo do limite acima.
Conclusão:é contínua em toda a reta e nas duas metades restantes, ou seja, em todo .