Determine a controlabilidade e a observabilidade dos sistemas descritos por
\begin{gathered} \dot{x}(t)=A x(t)+B u(t) \\\ y(t)=C x(t) \end{gathered}
em que:
A=\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\\\ -1 & -2 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{r} 1 \\\\ -2 \end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear no tempo contínuo com estado x(t)\in\mathbb{R}^2, entrada u(t) e saída y(t), definidos por
\dot{x}(t)=A x(t)+B u(t)
y(t)=C x(t)
As matrizes fornecidas são
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & -2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}.
O que o problema pede:
  • Determinar se o sistema é controlável (ou seja, se podemos levar qualquer estado inicial a qualquer estado final em tempo finito por escolha adequada de u(t)).
  • Determinar se o sistema é observável (ou seja, se podemos reconstruir o estado inicial a partir da saída y(t) observada no tempo).]

Passo 2

Definição prática e método para testar controlabilidade (passo-a-passo):
  • Para um sistema linear de dimensão n (aqui n=2), a matriz de controlabilidade de Kalman é
\mathcal{C}=\begin{bmatrix}B & AB & A^2B & \cdots & A^{n-1}B\end{bmatrix}.
  • Se \operatorname{rank}(\mathcal{C})=n então o sistema é (completamente) controlável.
  • No nosso caso, n=2, então basta calcular \mathcal{C}=\begin{bmatrix}B & AB\end{bmatrix} e verificar se tem posto 2.
    Vou agora calcular AB explicitamente (passo a passo da multiplicação de matrizes).

Passo 3

Cálculo de AB. Multiplicamos A por B:
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & -2\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-2\end{pmatrix}.
Produto linha a linha:
  • Primeira componente de AB: 0\cdot 1 + 1\cdot(-2) = -2.
  • Segunda componente de AB: (-1)\cdot 1 + (-2)\cdot(-2) = -1 + 4 = 3.
    Portanto
AB=\begin{pmatrix}-2\\[4pt]3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Formo a matriz de controlabilidade e verifico o posto:
\mathcal{C}=\begin{bmatrix}B & AB\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & -2\\[4pt]-2 & 3\end{bmatrix}.
Para saber se \mathcal{C} tem posto 2 (ou seja, é invertível), calculo seu determinante:
\det(\mathcal{C}) = 1\cdot 3 - (-2)\cdot(-2) = 3 - 4 = -1.
Como \det(\mathcal{C})=-1\neq 0, a matriz tem posto 2. Conclusão: o sistema é completamente controlável. Interpretação prática: existe uma entrada u(t) que leva qualquer estado inicial a qualquer estado final num tempo finito.]

Passo 5

Definição prática e método para testar observabilidade (passo-a-passo):
  • A matriz de observabilidade de Kalman para dimensão n é
\mathcal{O}=\begin{bmatrix}C\\[4pt]CA\\[4pt]\vdots\\[4pt]CA^{n-1}\end{bmatrix}.
  • Se \operatorname{rank}(\mathcal{O})=n então o sistema é (completamente) observável.
  • No nosso caso n=2, então basta calcular
\mathcal{O}=\begin{bmatrix}C\\[4pt]CA\end{bmatrix}
e verificar se tem posto 2.]

Passo 6

Cálculo de CA. Multiplico C por A:
C=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & -2\end{pmatrix}.
Produto elemento a elemento:
  • Primeiro elemento de CA: 1\cdot 0 + 0\cdot(-1) = 0.
  • Segundo elemento de CA: 1\cdot 1 + 0\cdot(-2) = 1.
    Assim
CA=\begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}.
Agora a matriz de observabilidade é
\mathcal{O}=\begin{bmatrix}C\\[4pt]CA\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{bmatrix}.
Esta é a matriz identidade 2\times2, cujo posto é 2. Logo o sistema é completamente observável. Interpretação prática: a partir das saídas y(t) (ao longo de um intervalo), é possível reconstruir o estado inicial.]

Resposta

Controlabilidade: o sistema é completamente controlável.
Observabilidade: o sistema é completamente observável.

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