Determine a controlabilidade e a observabilidade dos sistemas descritos por
\begin{gathered} \dot{x}(t)=A x(t)+B u(t) \\\ y(t)=C x(t) \end{gathered}
em que:
A=\left[\begin{array}{rr} 0 & 1 \\\\ -1 & -2 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{l} 0 \\\\ 1 \end{array}\right] \quad C=\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para determinar a controlabilidade e a observabilidade do sistema linear dado pelas equações
\dot{x}(t)=A x(t)+B u(t)
y(t)=C x(t)
com as matrizes fornecidas:
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & -2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0 \\\\ 1\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix}.
As perguntas explícitas são:
  • O sistema é controlável?
  • O sistema é observável?
Vou usar apenas as informações dadas acima para responder.

Passo 2

O que é preciso calcular para testar controlabilidade (receba isso como um “truquezinho de prova”): para um sistema linear de dimensão n a condição de Kalman diz que o sistema é controlável se a matriz de controlabilidade tiver posto n. Para n=2 (nosso caso) a matriz de controlabilidade é
\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & A B \end{bmatrix}.
Aqui B é a coluna dada e A B é a multiplicação da matriz A por B. Se \operatorname{rank}(\mathcal{C})=2 então o sistema é controlável. Vou calcular passo a passo.

Passo 3

Calcular A B. Multiplicamos A por B:
A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & -2\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0 \\\\ 1\end{pmatrix}.
O produto linha a linha:
  • Elemento de cima: 0\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1.
  • Elemento de baixo: -1\cdot 0 + (-2)\cdot 1 = -2.
    Portanto
A B = \begin{pmatrix}1 \\\\ -2\end{pmatrix}.

Passo 4

Construir a matriz de controlabilidade e calcular o posto (como é 2\times2 posso usar o determinante para verificar se o posto é 2):
\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & A B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\\\ 1 & -2 \end{bmatrix}.
Calculemos o determinante:
\det(\mathcal{C}) = 0\cdot(-2) - 1\cdot 1 = -1 \neq 0.
Como o determinante é diferente de zero, a matriz \mathcal{C} é invertível e tem posto \,2. Logo o sistema é controlável.
(Comentário didático rápido: isso significa que, partindo de x(0) apropriado, existe um sinal de entrada u(t) que leva o estado a qualquer x(T) desejado num tempo finito — é o sentido prático da controlabilidade.)

Passo 5

Agora a observabilidade. A condição de Kalman para observabilidade afirma que o sistema é observável se a matriz de observabilidade tem posto n. Para n=2 a matriz de observabilidade é
\mathcal{O} = \begin{pmatrix} C \\\ C A \end{pmatrix}.
Aqui C é a linha dada e C A é o produto da linha C pela matriz A. Vou calcular passo a passo.

Passo 6

Calcular C A. Multiplicamos C por A:
C=\begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix},\quad A=\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ -1 & -2\end{pmatrix}.
Produto componente a componente:
  • Primeiro componente: 1\cdot 0 + 0\cdot(-1) = 0.
  • Segundo componente: 1\cdot 1 + 0\cdot(-2) = 1.
    Portanto
C A = \begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}.

Passo 7

Construir a matriz de observabilidade e calcular o posto:
\mathcal{O} = \begin{pmatrix} C \\\ C A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Esta é a matriz identidade 2\times2, cujo determinante é 1\neq 0. Logo \operatorname{rank}(\mathcal{O})=2 e o sistema é observável.
(Comentário didático rápido: observabilidade significa que, conhecendo a saída y(t) ao longo de um intervalo apropriado e sabendo o sistema, posso reconstruir o estado inicial x(0).)

Passo 8

Resumo e conclusão: ambos os testes deram posto igual a 2 (a dimensão do estado), portanto o sistema é simultaneamente controlável e observável. Força aí na prova — essa é daquelas que caem direto se souber aplicar as matrizes de Kalman.

Resposta

Controlabilidade: controlável (posto da matriz de controlabilidade =2).
Observabilidade: observável (posto da matriz de observabilidade =2).

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