Vou usar apenas as informações dadas acima para responder.
Passo 2
O que é preciso calcular para testar controlabilidade (receba isso como um “truquezinho de prova”): para um sistema linear de dimensão n a condição de Kalman diz que o sistema é controlável se a matriz de controlabilidade tiver posto n. Para n=2 (nosso caso) a matriz de controlabilidade é
\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & A B \end{bmatrix}.
Aqui B é a coluna dada e A B é a multiplicação da matriz A por B. Se \operatorname{rank}(\mathcal{C})=2 então o sistema é controlável. Vou calcular passo a passo.
Como o determinante é diferente de zero, a matriz \mathcal{C} é invertível e tem posto \,2. Logo o sistema é controlável.
(Comentário didático rápido: isso significa que, partindo de x(0) apropriado, existe um sinal de entrada u(t) que leva o estado a qualquer x(T) desejado num tempo finito — é o sentido prático da controlabilidade.)
Passo 5
Agora a observabilidade. A condição de Kalman para observabilidade afirma que o sistema é observável se a matriz de observabilidade tem posto n. Para n=2 a matriz de observabilidade é
\mathcal{O} = \begin{pmatrix} C \\\ C A \end{pmatrix}.
Aqui C é a linha dada e C A é o produto da linha C pela matriz A. Vou calcular passo a passo.
Segundo componente: 1\cdot 1 + 0\cdot(-2) = 1.
Portanto
C A = \begin{pmatrix}0 & 1\end{pmatrix}.
Passo 7
Construir a matriz de observabilidade e calcular o posto:
\mathcal{O} = \begin{pmatrix} C \\\ C A \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.
Esta é a matriz identidade 2\times2, cujo determinante é 1\neq 0. Logo \operatorname{rank}(\mathcal{O})=2 e o sistema é observável.
(Comentário didático rápido: observabilidade significa que, conhecendo a saída y(t) ao longo de um intervalo apropriado e sabendo o sistema, posso reconstruir o estado inicial x(0).)
Passo 8
Resumo e conclusão: ambos os testes deram posto igual a 2 (a dimensão do estado), portanto o sistema é simultaneamente controlável e observável. Força aí na prova — essa é daquelas que caem direto se souber aplicar as matrizes de Kalman.
Resposta
Controlabilidade: controlável (posto da matriz de controlabilidade =2).
Observabilidade: observável (posto da matriz de observabilidade =2).