Determine o conunto dos números reais x para os quais
\cos x=-\frac{\sqrt{2}}{2}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os x\in\mathbb{R} tais que
\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
Vamos usar o círculo unitário para achar as soluções principais em [0,2\pi) e em seguida incorporar a periodicidade da função cosseno.

Passo 2

No círculo unitário temos \bigl|\cos x\bigr|=\tfrac{\sqrt{2}}{2} em quatro pontos, que são
x = \frac{\pi}{4},\;\frac{3\pi}{4},\;\frac{5\pi}{4},\;\frac{7\pi}{4}.
Destes, o cosseno é negativo nos quadrantes II e III, ou seja, em
x = \frac{3\pi}{4} \quad\text{e}\quad x = \frac{5\pi}{4}.

Passo 3

Como \cos x tem período 2\pi, toda solução pode ser obtida somando 2\pi k, com k\in\mathbb{Z}, às soluções principais. Portanto as soluções gerais são
x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k \quad\text{ou}\quad x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k, \quad k\in\mathbb{Z}.

Resposta

\Bigl\{\,x\in\mathbb{R}\mid x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi k\text{ ou }x = \frac{5\pi}{4} + 2\pi k,\;k\in\mathbb{Z}\Bigr\}.

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