Verifique que as igualdades abaixo valem para todo valor de x \neq 2 n \pi \pm \frac{\pi}{2}, onde n é um número inteiro qualquer. Tais igualdades são chamadas identidades trigonométricas.
\cos ^{2} x-\operatorname{sen}^{2} x=\frac{1-\operatorname{tg}^{2} x}{1+\operatorname{tg}^{2} x}

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos mostrar que
\cos^2 x - \sin^2 x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}
para todo x \neq 2n\pi \pm \tfrac{\pi}{2}. O conteúdo é identidades trigonométricas; vamos usar a definição de \tan x e a identidade pitagórica.

Passo 2

Partindo do membro direito, lembramos que \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}, logo \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}. Assim,
\frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x} = \frac{1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}.

Passo 3

Colocando \cos^2 x como denominador comum em numerador e denominador, obtemos
\frac{1 - \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}}{1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} = \frac{\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x}}{\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x + \sin^2 x}.

Passo 4

Pela identidade pitagórica \sin^2 x + \cos^2 x = 1, o denominador fica exatamente 1. Logo,
\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\cos^2 x + \sin^2 x} = \cos^2 x - \sin^2 x,
que coincide com o membro esquerdo da igualdade.

Resposta

\cos^2 x - \sin^2 x = \frac{1 - \tan^2 x}{1 + \tan^2 x}.

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