Encontre as três menores soluções positivas da equação
\cos \left(3 x-\frac{\pi}{4}\right)=0 .

Passo 1

O enunciado pede as três menores soluções positivas de
\cos\bigl(3x - \tfrac{\pi}{4}\bigr) = 0.
O conteúdo aqui é resolução de equação trigonométrica usando a solução geral de \cos(\theta)=0, que ocorre em
\theta = \tfrac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 2

Definimos
\theta = 3x - \frac{\pi}{4}
e aplicamos a condição \cos(\theta)=0, obtendo
3x - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Isolando x, somamos \tfrac{\pi}{4} em ambos os lados e dividimos por 3:
3x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + k\pi = \frac{3\pi}{4} + k\pi \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{3\pi/4 + k\pi}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{3}.

Passo 4

Para achar as soluções positivas crescentes, tomamos k=0,1,2,\dots:
  • Para k=0:
x_0 = \frac{\pi}{4}.
  • Para k=1:
x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi + 4\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}.
  • Para k=2:
x_2 = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} = \frac{3\pi + 8\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{4},\\ \frac{7\pi}{12},\\ \frac{11\pi}{12}.

Exercícios relacionados