Determine a convergência absoluta ou condicional das séries
cujos termos genéricos
são dados por:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série infinita
converge absolutamente, converge condicionalmente, ou diverge, sendo o termo genérico dado por
Informações claras fornecidas pelo enunciado:
- A expressão explícita de
é . - A pergunta é sobre o tipo de convergência da série
: absoluta, condicional ou divergente.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão de
para trabalhar melhor com ela. Note que
. Portanto
A série absoluta associada é
. Para decidir convergência absoluta, analisaremos
.
Passo 3
Aplicarei o teste da razão (razão de termos consecutivos) à série de termos positivos
. Calculemos a razão
Sabemos do cálculo básico que
onde
é a base dos logaritmos naturais.
Passo 4
Pelo teste da razão: se
existe e
, então a série de termos positivos
diverge (pois os termos não tendem a zero de forma suficiente). Aqui encontramos
Logo
diverge. Portanto a série não converge absolutamente.
Passo 5
Além disso, para que qualquer série
(com sinais) convirja é necessário que
quando
. Podemos ver que
não tende a zero; na verdade cresce de modo exponencial (uma observação rápida usando a aproximação de Stirling daria
, mas já basta o resultado do teste da razão: razão limite
implica que
não tende a zero). Portanto
, e por consequência a série
não pode convergir (nem condicionalmente).
Passo 6
Conclusão final (explicada de forma direta):
- A série de valores absolutos
diverge pelo teste da razão porque a razão limite é . - Como
não tende a zero, a série também diverge; não há convergência condicional.
Resposta
A série diverge; não converge nem absolutamente nem condicionalmente.