Determine a convergência absoluta ou condicional das séries \sum a_{n} cujos termos genéricos a_{n} são dados por:
\frac{(-n)^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série infinita \sum a_{n} converge absolutamente, converge condicionalmente, ou diverge, sendo o termo genérico dado por
a_{n}=\frac{(-n)^{n}}{n!}.
Informações claras fornecidas pelo enunciado:
  • A expressão explícita de a_{n} é \dfrac{(-n)^{n}}{n!}.
  • A pergunta é sobre o tipo de convergência da série \sum a_{n}: absoluta, condicional ou divergente.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão de a_{n} para trabalhar melhor com ela. Note que (-n)^{n}=(-1)^{n}n^{n}. Portanto
a_{n}=(-1)^{n}\,\frac{n^{n}}{n!}.
A série absoluta associada é \sum |a_{n}|=\sum \dfrac{n^{n}}{n!}. Para decidir convergência absoluta, analisaremos |a_{n}|=\dfrac{n^{n}}{n!}.

Passo 3

Aplicarei o teste da razão (razão de termos consecutivos) à série de termos positivos \sum |a_{n}|. Calculemos a razão
\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} = \frac{\dfrac{(n+1)^{\,n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{n^{n}}{n!}} = \frac{(n+1)^{\,n+1}\,n!}{(n+1)!\,n^{n}} = \frac{(n+1)^{\,n}}{n^{n}} = \Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n}.
Sabemos do cálculo básico que
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n}=e,
onde e\approx 2{,}71828 é a base dos logaritmos naturais.

Passo 4

Pelo teste da razão: se L=\lim_{n\to\infty}\dfrac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|} existe e L>1, então a série de termos positivos \sum |a_{n}| diverge (pois os termos não tendem a zero de forma suficiente). Aqui encontramos
L=\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n}=e>1.
Logo \sum |a_{n}| diverge. Portanto a série não converge absolutamente.

Passo 5

Além disso, para que qualquer série \sum a_{n} (com sinais) convirja é necessário que a_{n}\to 0 quando n\to\infty. Podemos ver que |a_{n}| não tende a zero; na verdade cresce de modo exponencial (uma observação rápida usando a aproximação de Stirling daria |a_{n}|\sim e^{n}/\sqrt{2\pi n}, mas já basta o resultado do teste da razão: razão limite >1 implica que |a_{n}| não tende a zero). Portanto a_{n}\not\to 0, e por consequência a série \sum a_{n} não pode convergir (nem condicionalmente).

Passo 6

Conclusão final (explicada de forma direta):
  • A série de valores absolutos \sum |a_{n}| diverge pelo teste da razão porque a razão limite é e>1.
  • Como a_{n} não tende a zero, a série \sum a_{n} também diverge; não há convergência condicional.

Resposta

A série diverge; não converge nem absolutamente nem condicionalmente.

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