Determine a convergência absoluta ou condicional das séries \sum a_{n} cujos termos genéricos a_{n} são dados por:
\frac{(-1)^{n}}{n^{2} \ln (n)}

Passo 1

O enunciado dá a série cujo termo geral é \displaystyle a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{2}\ln(n)} e pede para determinar se a série \sum a_{n} converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
Observações extraídas do enunciado (informações relevantes):
  • Os termos envolvem \ln(n), que só está definido para n\geq2, portanto a soma deve ser entendida a partir de n=2: \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}\ln(n)}.
  • Quer-se saber se a série converge quando se toma os sinais (convergência habitual) e se a série de termos absolutos \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\left|a_{n}\right| converge (convergência absoluta).

Passo 2

Definições e ideia do que vamos usar (passo didático).
  • A série \displaystyle \sum a_{n} é dita convergir absolutamente se a série dos valores absolutos \displaystyle \sum |a_{n}| converge. Se \sum |a_{n}| diverge mas \sum a_{n} converge, diz-se que a série converge condicionalmente.
  • Teorema útil (enunciado útil sem prova longa): se \sum |a_{n}| converge então \sum a_{n} também converge (ou seja, convergência absoluta implica convergência usual).
    Portanto, uma estratégia prática: testar primeiro a convergência da série dos valores absolutos \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\left|a_{n}\right|=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\ln(n)}. Se esta convergir, a série original converge absolutamente e já resolvemos.

Passo 3

Análise da série dos valores absolutos e escolha do teste.
A série a estudar é
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\ln(n)}.
Uma maneira simples é usar o teste da comparação direta com a série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}, que é bem conhecida e convergente (é a p-série com p=2>1). Para aplicar comparação, precisamos uma desigualdade entre os termos. Note que, para n\geq2,
\ln(n)\geq \ln(2)>0,
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\frac{1}{n^{2}\ln(n)} \leq \frac{1}{n^{2}\ln(2)} = \frac{1}{\ln(2)}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
Assim os termos \dfrac{1}{n^{2}\ln(n)} são menores do que uma constante vezes \dfrac{1}{n^{2}}.

Passo 4

Aplicação do teste de comparação e conclusão sobre \sum |a_{n}|.
Pelo que vimos, para todo n\geq2 vale
0\leq \frac{1}{n^{2}\ln(n)} \leq \frac{1}{\ln(2)}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
A série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} converge (p-série com p=2>1; por exemplo, pode-se ver a convergência pelo teste da integral ou por resultados clássicos). Como uma série convergente multiplicada por uma constante continua convergente, \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln(2)}\cdot\frac{1}{n^{2}} converge. Pelo teste da comparação direta, segue que
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\ln(n)}
também converge. Portanto a série dos valores absolutos converge.

Passo 5

Conclusão final sobre a série original.
Como \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\left|a_{n}\right|=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\ln(n)} converge, pela propriedade geral de séries temos que a série com sinais
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}\ln(n)}
converge absolutamente. Portanto não há apenas convergência condicional: a convergência é absoluta.

Resposta

A série converge absolutamente.

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