Determine a convergência absoluta ou condicional das séries
cujos termos genéricos
são dados por:
Passo 1
O enunciado dá a série cujo termo geral é
e pede para determinar se a série
converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge.
Observações extraídas do enunciado (informações relevantes):
Observações extraídas do enunciado (informações relevantes):
- Os termos envolvem
, que só está definido para , portanto a soma deve ser entendida a partir de : . - Quer-se saber se a série converge quando se toma os sinais (convergência habitual) e se a série de termos absolutos
converge (convergência absoluta).
Passo 2
Definições e ideia do que vamos usar (passo didático).
- A série
é dita convergir absolutamente se a série dos valores absolutos converge. Se diverge mas converge, diz-se que a série converge condicionalmente. - Teorema útil (enunciado útil sem prova longa): se
converge então também converge (ou seja, convergência absoluta implica convergência usual).
Portanto, uma estratégia prática: testar primeiro a convergência da série dos valores absolutos. Se esta convergir, a série original converge absolutamente e já resolvemos.
Passo 3
Análise da série dos valores absolutos e escolha do teste.
A série a estudar é
A série a estudar é
Uma maneira simples é usar o teste da comparação direta com a série
, que é bem conhecida e convergente (é a p-série com
). Para aplicar comparação, precisamos uma desigualdade entre os termos. Note que, para
,
logo
Assim os termos
são menores do que uma constante vezes
.
Passo 4
Aplicação do teste de comparação e conclusão sobre
.
Pelo que vimos, para todo vale
Pelo que vimos, para todo
A série
converge (p-série com
; por exemplo, pode-se ver a convergência pelo teste da integral ou por resultados clássicos). Como uma série convergente multiplicada por uma constante continua convergente,
converge. Pelo teste da comparação direta, segue que
também converge. Portanto a série dos valores absolutos converge.
Passo 5
Conclusão final sobre a série original.
Como converge, pela propriedade geral de séries temos que a série com sinais
Como
converge absolutamente. Portanto não há apenas convergência condicional: a convergência é absoluta.
Resposta
A série converge absolutamente.