Determine a convergência absoluta ou condicional das séries \sum a_{n} cujos termos genéricos a_{n} são dados por:
\sin \left(\frac{(-1)^{n}}{n}\right)

Passo 1

O enunciado dá a série cujos termos genéricos são
a_n=\sin\!\left(\frac{(-1)^n}{n}\right).
A tarefa é decidir se a série \sum a_n é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações úteis que extraí do enunciado e que vamos usar:
  • A fórmula explícita de a_n acima.
  • Para n grande o argumento de \sin é pequeno (porque \tfrac{(-1)^n}{n}\to 0).
  • É necessário analisar tanto \sum a_n quanto \sum |a_n|.

Passo 2

Simplificar a expressão de a_n. Usar que \sin é função ímpar, isto é, \sin(-x)=-\sin x. Portanto, para todo n,
a_n=\sin\!\left(\frac{(-1)^n}{n}\right)=(-1)^n\sin\!\left(\frac{1}{n}\right).
Isto mostra que os sinais alternam (pelo fator (-1)^n) e as magnitudes são b_n=\sin\!\left(\tfrac{1}{n}\right), que são positivas.

Passo 3

Verificar o limite dos termos (condição necessária para convergência de séries). Calcular
\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} (-1)^n\sin\!\left(\frac{1}{n}\right).
Como \sin x\sim x quando x\to 0, tem-se \sin\!\left(\tfrac{1}{n}\right)\to 0. Logo a_n\to 0. Mais formalmente,
\lim_{n\to\infty}\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)=0,
portanto \lim_{n\to\infty} a_n=0. Este é um passo necessário; não garante convergência sozinho, mas é obrigatório.

Passo 4

Estabelecer monotonicidade necessária para aplicar o teste da série alternada (Leibniz). Considere b_n=\sin\!\left(\tfrac{1}{n}\right) (os módulos dos termos). Para n\ge 1 temos 0<\tfrac{1}{n}\le 1, e a função \sin x é crescente em [0,\tfrac{\pi}{2}], portanto, se m>n então \tfrac{1}{m}<\tfrac{1}{n} implica
\sin\!\left(\frac{1}{m}\right)<\sin\!\left(\frac{1}{n}\right).
Logo (b_n) é uma sequência positiva decrescente e tende a zero. Esses são exatamente os requisitos do teste da série alternada.

Passo 5

Aplicar o teste da série alternada (Leibniz): se (b_n) é positiva, decrescente e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série \sum (-1)^n b_n converge. Aqui a_n=(-1)^n b_n com b_n=\sin\!\left(\tfrac{1}{n}\right) satisfaz as hipóteses, portanto
\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n\sin\!\left(\frac{1}{n}\right)
converge.

Passo 6

Verificar se a convergência é absoluta. Estudar a série dos módulos:
\sum_{n=1}^{\infty} |a_n|=\sum_{n=1}^{\infty} \left|\sin\!\left(\frac{(-1)^n}{n}\right)\right|=\sum_{n=1}^{\infty} \sin\!\left(\frac{1}{n}\right),
pois \sin\!\left(\tfrac{1}{n}\right)>0. Para decidir se isso converge, use comparação assintótica (limite de razão): calcular
\lim_{n\to\infty}\frac{\sin\!\left(\tfrac{1}{n}\right)}{\tfrac{1}{n}}=\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Como o limite é finito e não nulo, pela comparação limite a série \sum \sin\!\left(\tfrac{1}{n}\right) tem o mesmo comportamento que a série \sum \tfrac{1}{n} (harmônica). A série harmônica diverge, logo \sum \sin\!\left(\tfrac{1}{n}\right) também diverge. Portanto \sum |a_n| diverge, ou seja, a série não é absolutamente convergente.

Passo 7

Concluir a natureza da convergência: a série \sum a_n converge (por Leibniz) mas não converge absolutamente (porque \sum |a_n| diverge). Isso significa que a convergência é condicional.

Resposta

A série converge condicionalmente.

Exercícios relacionados