Determine a convergência absoluta ou condicional das séries \sum a_{n} cujos termos genéricos a_{n} são dados por: \sin \left(\frac{(-1)^{n}}{n}\right)
Passo 1
O enunciado dá a série cujos termos genéricos são
a_n=\sin\!\left(\frac{(-1)^n}{n}\right).
A tarefa é decidir se a série \sum a_n é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
Informações úteis que extraí do enunciado e que vamos usar:
A fórmula explícita de a_n acima.
Para n grande o argumento de \sin é pequeno (porque \tfrac{(-1)^n}{n}\to 0).
É necessário analisar tanto \sum a_n quanto \sum |a_n|.
Passo 2
Simplificar a expressão de a_n. Usar que \sin é função ímpar, isto é, \sin(-x)=-\sin x. Portanto, para todo n,
portanto \lim_{n\to\infty} a_n=0. Este é um passo necessário; não garante convergência sozinho, mas é obrigatório.
Passo 4
Estabelecer monotonicidade necessária para aplicar o teste da série alternada (Leibniz). Considere b_n=\sin\!\left(\tfrac{1}{n}\right) (os módulos dos termos). Para n\ge 1 temos 0<\tfrac{1}{n}\le 1, e a função \sin x é crescente em [0,\tfrac{\pi}{2}], portanto, se m>n então \tfrac{1}{m}<\tfrac{1}{n} implica
Logo (b_n) é uma sequência positiva decrescente e tende a zero. Esses são exatamente os requisitos do teste da série alternada.
Passo 5
Aplicar o teste da série alternada (Leibniz): se (b_n) é positiva, decrescente e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então a série \sum (-1)^n b_n converge. Aqui a_n=(-1)^n b_n com b_n=\sin\!\left(\tfrac{1}{n}\right) satisfaz as hipóteses, portanto
Como o limite é finito e não nulo, pela comparação limite a série \sum \sin\!\left(\tfrac{1}{n}\right) tem o mesmo comportamento que a série \sum \tfrac{1}{n} (harmônica). A série harmônica diverge, logo \sum \sin\!\left(\tfrac{1}{n}\right) também diverge. Portanto \sum |a_n| diverge, ou seja, a série não é absolutamente convergente.
Passo 7
Concluir a natureza da convergência: a série \sum a_n converge (por Leibniz) mas não converge absolutamente (porque \sum |a_n| diverge). Isso significa que a convergência é condicional.