Determine a convergência ou divergência das seguintes sequências com o n-ésimo termo dados por
a_{n}=\frac{\cos \pi n}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para investigar a convergência da sequência cujo termo geral é
a_{n} = \frac{\cos(\pi n)}{n^{2}}.
O conteúdo envolve limite de sequência e o uso de propriedades trigonométricas e do crescimento de funções.

Passo 2

Observamos que
\cos(\pi n) = (-1)^{n},
portanto
a_{n} = \frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
Como |(-1)^{n}|=1, temos
|a_{n}| = \frac{1}{n^{2}}.
Sabemos que \frac{1}{n^{2}}\to 0 quando n\to\infty. Pelo Teorema do Confronto (ou “Sanduíche”), segue que
a_{n}\to 0.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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