Determine a convergência ou divergência das seguintes sequências com o n-ésimo termo dados por
a_{n}=\frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{n}+1}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{n} + 1}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. Vamos usar propriedades de limites de funções em n grande.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por \sqrt[3]{n}, obtendo
a_{n} = \frac{\sqrt[3]{n}}{\sqrt[3]{n} + 1} = \frac{1}{1 + \dfrac{1}{\sqrt[3]{n}}}.

Passo 3

Quando n \to \infty, temos \dfrac{1}{\sqrt[3]{n}}\to 0. Logo, pelo limite da expressão obtida,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{1 + \dfrac{1}{\sqrt[3]{n}}} = \frac{1}{1+0} = 1.

Passo 4

Como o limite existe e é finito, concluímos que a sequência (a_{n}) é convergente.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n}=1.

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