Determine a convergência ou divergência das seguintes sequências com o n-ésimo termo dados por
a_{n}=\frac{10 n^{2}+3 n+7}{2 n^{2}-6}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
a_{n}=\frac{10n^{2}+3n+7}{2n^{2}-6}
converge ou diverge quando n\to\infty. O conteúdo envolvido é cálculo de limite de sequência dada por razão de polinômios de mesmo grau. Para resolver, vamos usar a propriedade de que, para sequências racionais em que o numerador e o denominador são polinômios do mesmo grau, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau.

Passo 2

Escrevemos
a_{n} =\frac{10n^{2}+3n+7}{2n^{2}-6} =\frac{n^{2}\bigl(10+\tfrac{3}{n}+\tfrac{7}{n^{2}}\bigr)}{n^{2}\bigl(2-\tfrac{6}{n^{2}}\bigr)} =\frac{10+\tfrac{3}{n}+\tfrac{7}{n^{2}}}{2-\tfrac{6}{n^{2}}}.
Como \tfrac{3}{n}\to0, \tfrac{7}{n^{2}}\to0 e \tfrac{6}{n^{2}}\to0 quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\frac{10+0+0}{2-0} =\frac{10}{2} =5.

Resposta

A sequência converge e seu limite é 5.

Exercícios relacionados