Sejam
e
mostre que os coeficientes de Fourier podem ser escritos por
e
.
Passo 1
O exercício trata de mostrar como aparecem as fórmrias dos coeficientes de Fourier quando expandimos uma função
numa base ortonormal (ou ortogonal) de cossenos e senos num intervalo de comprimento
. Vamos precisar da definição do produto interno e da propriedade de ortogonalidade de
e
.
Passo 2
Partimos da expansão de Fourier geral no intervalo
:
onde usamos
e
.
Aqui definimos o produto interno
Aqui definimos o produto interno
Passo 3
Sabendo que as funções são ortogonais no intervalo
, temos para
E para o caso igual as normas são não nulas.
Passo 4
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados da expansão por
e integramos de 0 a
:
Pela ortogonalidade todos os termos somados com
caem, sobrando apenas
Passo 5
Logo podemos resolver para
:
O mesmo raciocínio vale para os coeficientes
: multiplica-se a série por
e integra, usando a ortogonalidade entre senos e cossenos e entre senos de índices distintos, obtendo
Assim demonstramos as fórmulas pedidas.
Resposta
$$a_n=\frac{\langle f,\psi_n\rangle}{\langle\psi_n,\psi_n\rangle},\quad n=0,1,2,\dots\
b_n=\frac{\langle f,\phi_n\rangle}{\langle\phi_n,\phi_n\rangle},\quad n=1,2,\dots$$