Sejam psin(x)=cos (n pi xL), n=0,1,2, ldots e phin(x)=sen(n pi xL), n=1,2, ldots mostre que os coeficientes de Fourier podem ser escritos por an= e bn=, n=1,2, ldots.

Passo 1

O exercício trata de mostrar como aparecem as fórmrias dos coeficientes de Fourier quando expandimos uma função f(x) numa base ortonormal (ou ortogonal) de cossenos e senos num intervalo de comprimento L. Vamos precisar da definição do produto interno e da propriedade de ortogonalidade de psin e phin.

Passo 2

Partimos da expansão de Fourier geral no intervalo [0,L]:
f(x)=sumn=0^inftyan,psin(x)+sumn=1^inftybn,phin(x),
onde usamos psin(x)=cosl(tfracnpi xLr) e phin(x)=sinl(tfracnpi xLr).
Aqui definimos o produto interno
lang<= u,vrang<==integral0^Lu(x),v(x),dx

Passo 3

Sabendo que as funções são ortogonais no intervalo [0,L], temos para mneq n
lang<=psin,psimrang<==0,lang<=phin,phimrang<==0,lang<=psin,phimrang<==0
E para o caso igual as normas são não nulas.

Passo 4

Para isolar an, multiplicamos ambos os lados da expansão por psin(x) e integramos de 0 a L:
integral0^L f(x)psin(x),dx=summ=0^inftyamintegral0^Lpsim(x)psin(x),dx+summ=1^inftybmintegral0^Lphim(x)psin(x),dx
Pela ortogonalidade todos os termos somados com mneq n caem, sobrando apenas
lang<= f,psinrang<==an,lang<=psin,psinrang<=

Passo 5

Logo podemos resolver para an:
an=lang<= f,psinrang<=lang<=psin,psinrang<=, n=0,1,2,dots
O mesmo raciocínio vale para os coeficientes bn: multiplica-se a série por phin(x) e integra, usando a ortogonalidade entre senos e cossenos e entre senos de índices distintos, obtendo
bn=lang<= f,phinrang<=lang<=phin,phinrang<=, n=1,2,dots
Assim demonstramos as fórmulas pedidas.

Resposta

$$a_n=\frac{\langle f,\psi_n\rangle}{\langle\psi_n,\psi_n\rangle},\quad n=0,1,2,\dots\
b_n=\frac{\langle f,\phi_n\rangle}{\langle\phi_n,\phi_n\rangle},\quad n=1,2,\dots$$

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