Determine a convergência ou divergência das séries a seguir. Se for convergente, calcule a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge, e, se convergente, calcular a soma. Informações dadas:
- A série é a soma infinita dos termos
para . - Não foi especificada a base do logaritmo; aqui usarei logaritmo natural (ou seja,
), lembrando que a escolha da base não muda a questão de convergência (só muda a unidade da soma, quando existe).
Passo 2
Relembrando uma propriedade básica de logaritmos que será usada: para quaisquer
e
,
Explicação curta: o logaritmo transforma divisão em subtração — isso é essencial para criar cancelamentos quando somamos termos do tipo
.
Passo 3
Definimos a soma parcial
da série como a soma dos primeiros
termos:
Lembrete importante sobre séries: a série converge se, e somente se, o limite
existir e for finito. Por isso vamos estudar
explicitamente.
Passo 4
Aplicando a propriedade do logaritmo termo a termo, cada termo fica
Substituindo na soma parcial,
Passo 5
Agora escrevemos explicitamente os primeiros termos para ver o padrão de cancelamento (telescopia):
porque
cancela com
,
cancela com
, e assim por diante. Obs.:
.
Portanto obtemos a expressão fechada
Passo 6
Calculamos o limite das somas parciais quando
:
Como o limite das somas parciais não é um número finito, a série não converge no sentido usual; ela diverge. Mais precisamente, os somatórios parciais tendem a
, isto é, a série diverge para
.
Comentário adicional (didático): outra visão é transformar a soma em produto usando
:
, que tende a
quando
; daí
.
Resposta
A série diverge; os somatórios parciais satisfazem
e portanto
quando
.