Determine a convergência ou divergência das séries a seguir. Se for convergente, calcule a sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \log \left(\frac{n}{n+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \log\!\left(\frac{n}{n+1}\right)
converge ou diverge, e, se convergente, calcular a soma. Informações dadas:
  • A série é a soma infinita dos termos \log\!\left(\dfrac{n}{n+1}\right) para n=1,2,3,\dots.
  • Não foi especificada a base do logaritmo; aqui usarei logaritmo natural (ou seja, \log=\ln), lembrando que a escolha da base não muda a questão de convergência (só muda a unidade da soma, quando existe).

Passo 2

Relembrando uma propriedade básica de logaritmos que será usada: para quaisquer a>0 e b>0,
\log\!\left(\frac{a}{b}\right)=\log a - \log b.
Explicação curta: o logaritmo transforma divisão em subtração — isso é essencial para criar cancelamentos quando somamos termos do tipo \log(\text{algo}/\text{algo}).

Passo 3

Definimos a soma parcial S_N da série como a soma dos primeiros N termos:
S_N=\sum_{n=1}^{N}\log\!\left(\frac{n}{n+1}\right).
Lembrete importante sobre séries: a série converge se, e somente se, o limite \lim_{N\to\infty} S_N existir e for finito. Por isso vamos estudar S_N explicitamente.

Passo 4

Aplicando a propriedade do logaritmo termo a termo, cada termo fica
\log\!\left(\frac{n}{n+1}\right)=\log n - \log(n+1).
Substituindo na soma parcial,
S_N=\sum_{n=1}^{N}\big(\log n - \log(n+1)\big).

Passo 5

Agora escrevemos explicitamente os primeiros termos para ver o padrão de cancelamento (telescopia):
\begin{aligned} S_N &= (\log 1 - \log 2) + (\log 2 - \log 3) + (\log 3 - \log 4) + \cdots + (\log N - \log(N+1))\\\ &= \log 1 \;-\; \log(N+1), \end{aligned}
porque \log 2 cancela com -\log 2, \log 3 cancela com -\log 3, e assim por diante. Obs.: \log 1=0.
Portanto obtemos a expressão fechada
S_N = -\log(N+1).

Passo 6

Calculamos o limite das somas parciais quando N\to\infty:
\lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} \big(-\log(N+1)\big) = -\infty.
Como o limite das somas parciais não é um número finito, a série não converge no sentido usual; ela diverge. Mais precisamente, os somatórios parciais tendem a -\infty, isto é, a série diverge para -\infty.
Comentário adicional (didático): outra visão é transformar a soma em produto usando \exp: \exp(S_N)=\prod_{n=1}^N \frac{n}{n+1}=\frac{1}{N+1}, que tende a 0 quando N\to\infty; daí S_N=\log(1/(N+1))=-\log(N+1)\to-\infty.

Resposta

A série diverge; os somatórios parciais satisfazem S_N=-\log(N+1) e portanto S_N\to-\infty quando N\to\infty.

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