Questão 4. Determine a convergência das séries a seguir (não é necessário calcular o seu valor).
a) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2 n^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2 n^{3}+1}.
Informações dadas:
  • O termo geral da série é a_n=\dfrac{n}{2 n^{3}+1}.
  • A série é de termos positivos para todo n\ge1 (numerador e denominador positivos).
  • Não é necessário calcular o valor da soma, apenas decidir se a série converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro conceito importante: séries de termos positivos permitem usar testes de comparação. Dois testes úteis aqui são:
  • Teste da série p (p-series): a série \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}converge se, e somente se, p>1. Exemplo: \sum 1/n^{2} converge, \sum 1/n diverge.
  • Teste da comparação limite (limit comparison test): dados dois termos positivos a_n e b_n, se L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}existe e 0<L<\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ou seja, ambas convergem ou ambas divergem).
Vou usar esses conceitos e aplicá-los passo a passo.

Passo 3

Escolha do método: como a_n tem comportamento racional em potências de n, é natural compará-la com uma p-série. Observando graficamente o grau do numerador e denominador, a_n é da ordem de n/(n^3)=1/n^2 quando n é grande. Então uso o teste da comparação limite com
b_n=\frac{1}{n^{2}},
porque \sum b_n é uma p-série com p=2>1, logo converge.

Passo 4

Defino explicitamente
a_n=\frac{n}{2 n^{3}+1},\qquad b_n=\frac{1}{n^{2}}.
Recordando o teste da comparação limite: se
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}
satisfaz 0<L<\infty, então \sum a_n converge se, e somente se, \sum b_n converge.

Passo 5

Calculo a razão a_n/b_n:
\frac{a_n}{b_n}=\frac{\dfrac{n}{2 n^{3}+1}}{\dfrac{1}{n^{2}}} =\frac{n^{3}}{2 n^{3}+1}.
Para achar o limite quando n\to\infty, divido numerador e denominador por n^{3}:
\frac{n^{3}}{2 n^{3}+1}=\frac{1}{2+\dfrac{1}{n^{3}}}.
Logo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}}{2 n^{3}+1}=\frac{1}{2}.
Este limite L=\tfrac{1}{2} é um número positivo e finito.

Passo 6

Pelo teste da comparação limite, como L=\tfrac{1}{2}\in(0,\infty) e \sum b_n=\sum 1/n^{2} converge (pelo teste p com p=2>1), conclui-se que \sum a_n também converge.
Para reforçar (opcional): também se pode ver diretamente que, para todo n\ge1,
2 n^{3}+1\ge 2 n^{3}\quad\Rightarrow\quad \frac{n}{2 n^{3}+1}\le \frac{n}{2 n^{3}}=\frac{1}{2 n^{2}},
e como \sum \tfrac{1}{2 n^{2}}=\tfrac{1}{2}\sum \tfrac{1}{n^{2}} converge, por comparação direta a série original converge.

Passo 7

Conclusão sobre tipo de convergência: todos os termos são positivos, então a convergência obtida é, claro, convergência absoluta (não há distinção entre convergência e convergência absoluta quando os termos são não negativos).

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

Exercícios relacionados