Questão 4. Determine a convergência das séries a seguir (não é necessário calcular o seu valor).
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convergência da série
Informações dadas:
- O termo geral da série é
. - A série é de termos positivos para todo
(numerador e denominador positivos). - Não é necessário calcular o valor da soma, apenas decidir se a série converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro conceito importante: séries de termos positivos permitem usar testes de comparação. Dois testes úteis aqui são:
- Teste da série
(p-series): a série converge se, e somente se, . Exemplo: converge, diverge. - Teste da comparação limite (limit comparison test): dados dois termos positivos
e , se existe e , então e têm o mesmo comportamento (ou seja, ambas convergem ou ambas divergem).
Vou usar esses conceitos e aplicá-los passo a passo.
Passo 3
Escolha do método: como
tem comportamento racional em potências de
, é natural compará-la com uma
-série. Observando graficamente o grau do numerador e denominador,
é da ordem de
quando
é grande. Então uso o teste da comparação limite com
porque
é uma
-série com
, logo converge.
Passo 4
Defino explicitamente
Recordando o teste da comparação limite: se
satisfaz
, então
converge se, e somente se,
converge.
Passo 5
Calculo a razão
:
Para achar o limite quando
, divido numerador e denominador por
:
Logo
Este limite
é um número positivo e finito.
Passo 6
Pelo teste da comparação limite, como
e
converge (pelo teste
com
), conclui-se que
também converge.
Para reforçar (opcional): também se pode ver diretamente que, para todo
,
e como
converge, por comparação direta a série original converge.
Passo 7
Conclusão sobre tipo de convergência: todos os termos são positivos, então a convergência obtida é, claro, convergência absoluta (não há distinção entre convergência e convergência absoluta quando os termos são não negativos).
Resposta
A série converge (convergência absoluta).