Questão 2. Determine a convergência ou divergência das séries a seguir. Se for convergente, calcule a sua soma.
j) * \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n^{3}+n}
Passo 1
O enunciado nos dá a série infinita a seguir e pede duas coisas: determinar se ela converge ou diverge; se convergir, calcular a soma.
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n^{3}+n}.
Informações dadas importantes:
O termo geral é \dfrac{3}{n^{3}+n} para n=1,2,3,\ldots.
É pedido primeiro testar convergência/divergência e, se convergente, encontrar o valor da soma da série.
Passo 2
Primeiro vamos testar convergência com um método simples e seguro: comparação com uma série p (teste da série p).
Observação sobre comportamento assintótico: para n grande,
A série p \sum 1/n^{p} converge se p>1. Aqui, \sum 3/n^{3} (que é constante vezes \sum 1/n^{3}) é convergente porque 3>1 e p=3>1.
Aplicando comparação direta: para todo n\ge 1 tem-se n^{3}+n\ge n^{3}, então
0\le \frac{3}{n^{3}+n}\le \frac{3}{n^{3}}.
Como \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3}{n^{3}} converge, pela comparação a série dada também converge absolutamente (portanto converge).
Passo 3
Agora vamos calcular a soma. Começamos fazendo uma decomposição em frações parciais do termo geral, que é um passo típico para tentar somar séries que têm forma racional.
Escrevemos
Cada uma das somas do lado direito diverge isoladamente (a primeira diverge porque é a série harmônica; a segunda também diverge porque o termo geral \dfrac{n}{n^{2}+1}\sim 1/n). Contudo, a diferença é finita (já mostramos convergência pela comparação), então devemos manipular a soma de forma que a divergência aparente se cancele e possamos obter um valor explícito.
Uma forma elegante de tratar essa diferença é escrever \dfrac{n}{n^{2}+1} em termos de frações simples com polos complexos n\pm i. Note a identidade:
Agora vamos somar termo a termo e usar uma representação conhecida (série de definição) da função digama \psi, que é uma ferramenta padrão para somas do tipo \sum(1/(n+a)-1/n).
Definição útil (representação em série): para qualquer z não inteiro negativo,
onde \psi é a função digama e \gamma é a constante de Euler–Mascheroni. Essa identidade é frequentemente usada para transformar somas do tipo \sum(1/n-1/(n+z)) em termos de \psi.
Simplificações finais e interpretação: como \psi(1+\overline{z})=\overline{\psi(1+z)}, para z=i temos \psi(1-i)=\overline{\psi(1+i)}. Portanto \dfrac{\psi(1+i)+\psi(1-i)}{2}=\Re\psi(1+i). Usando ainda a relação \psi(1+z)=\psi(z)+1/z nota-se que a forma mais curta é escrever em termos de \psi(i); de fato uma forma bastante direta é
Isso é uma expressão fechada em termos da função digama e de constantes conhecidas. Se desejar um valor numérico, calculamos uma aproximação (valores conhecidos: \gamma\approx 0{,}57721566 e \Re\psi(i)\approx 0{,}094709\ldots), daí
Resumo didático curto (como aplicar isso numa prova):
Para testar convergência, comparar com \dfrac{3}{n^{3}} (p-série com p=3) é o caminho mais fácil.
Para somar, fazer decomposição em frações parciais; aqui surgem termos do tipo \dfrac{1}{n\pm i}, então a soma se expressa naturalmente via função digama usando a identidade em série da digama.
Se não for pedido forma elementar, a resposta em termos da digama é uma forma aceitável e elegante; se quiser número, calcule numericamente.