Questão 2. Determine a convergência ou divergência das séries a seguir. Se for convergente, calcule a sua soma.
j) * \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3}{n^{3}+n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita a seguir e pede duas coisas: determinar se ela converge ou diverge; se convergir, calcular a soma.
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n^{3}+n}.
Informações dadas importantes:
  • O termo geral é \dfrac{3}{n^{3}+n} para n=1,2,3,\ldots.
  • É pedido primeiro testar convergência/divergência e, se convergente, encontrar o valor da soma da série.

Passo 2

Primeiro vamos testar convergência com um método simples e seguro: comparação com uma série p (teste da série p).
Observação sobre comportamento assintótico: para n grande,
n^{3}+n = n^{3}\Bigl(1+\frac{1}{n^{2}}\Bigr)\sim n^{3},
portanto
\frac{3}{n^{3}+n}\sim\frac{3}{n^{3}}.
A série p \sum 1/n^{p} converge se p>1. Aqui, \sum 3/n^{3} (que é constante vezes \sum 1/n^{3}) é convergente porque 3>1 e p=3>1.
Aplicando comparação direta: para todo n\ge 1 tem-se n^{3}+n\ge n^{3}, então
0\le \frac{3}{n^{3}+n}\le \frac{3}{n^{3}}.
Como \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3}{n^{3}} converge, pela comparação a série dada também converge absolutamente (portanto converge).

Passo 3

Agora vamos calcular a soma. Começamos fazendo uma decomposição em frações parciais do termo geral, que é um passo típico para tentar somar séries que têm forma racional.
Escrevemos
\frac{3}{n^{3}+n}=\frac{3}{n(n^{2}+1)}.
Procuramos constantes A,B,C tais que
\frac{3}{n(n^{2}+1)}=\frac{A}{n}+\frac{Bn+C}{n^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por n(n^{2}+1) obtemos a identidade polinomial
3 = A(n^{2}+1) + (Bn+C)n.
Expandindo e agrupando coeficientes em potências de n:
3 = (A+B)n^{2} + C n + A.
Comparando coeficientes dos termos n^{2}, n e termo constante:
  • Coeficiente de n^{2}: A+B=0.
  • Coeficiente de n: C=0.
  • Termo constante: A=3.
Assim A=3, C=0 e B=-A=-3. Então
\frac{3}{n^{3}+n}=\frac{3}{n}-\frac{3n}{n^{2}+1}.

Passo 4

A identidade encontrada permite escrever a série como diferença de duas séries:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n^{3}+n} =3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}-3\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{n^{2}+1}.
Cada uma das somas do lado direito diverge isoladamente (a primeira diverge porque é a série harmônica; a segunda também diverge porque o termo geral \dfrac{n}{n^{2}+1}\sim 1/n). Contudo, a diferença é finita (já mostramos convergência pela comparação), então devemos manipular a soma de forma que a divergência aparente se cancele e possamos obter um valor explícito.
Uma forma elegante de tratar essa diferença é escrever \dfrac{n}{n^{2}+1} em termos de frações simples com polos complexos n\pm i. Note a identidade:
\frac{2n}{n^{2}+1}=\frac{1}{n-i}+\frac{1}{n+i},
porque
\frac{1}{n-i}+\frac{1}{n+i}=\frac{(n+i)+(n-i)}{n^{2}+1}=\frac{2n}{n^{2}+1}.
Logo
\frac{n}{n^{2}+1}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{n-i}+\frac{1}{n+i}\Bigr).
Substituindo na expressão da série:
\frac{3}{n^{3}+n}=3\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{2}\bigl(\frac{1}{n-i}+\frac{1}{n+i}\bigr)\Bigr).

Passo 5

Agora vamos somar termo a termo e usar uma representação conhecida (série de definição) da função digama \psi, que é uma ferramenta padrão para somas do tipo \sum(1/(n+a)-1/n).
Definição útil (representação em série): para qualquer z não inteiro negativo,
\psi(1+z) = -\gamma + \sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+z}\Bigr),
onde \psi é a função digama e \gamma é a constante de Euler–Mascheroni. Essa identidade é frequentemente usada para transformar somas do tipo \sum(1/n-1/(n+z)) em termos de \psi.
No nosso caso queremos somar
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{2}\bigl(\frac{1}{n-i}+\frac{1}{n+i}\bigr)\Bigr) =\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+i}\bigr)+\bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-i}\bigr)\Bigr).
Aplicando a identidade da digama com z=i e z=-i obtemos
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+i}\Bigr)=\psi(1+i)+\gamma,
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n-i}\Bigr)=\psi(1-i)+\gamma.
Somando e dividindo por 2, a soma que queremos (sem o fator 3) é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n^{2}+1)} = \frac{1}{2}\bigl(\psi(1+i)+\psi(1-i)\bigr)+\gamma.
Multiplicando por 3 (lembre que nosso termo inicial tinha fator 3):
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n^{3}+n} =3\left(\gamma+\frac{\psi(1+i)+\psi(1-i)}{2}\right).

Passo 6

Simplificações finais e interpretação: como \psi(1+\overline{z})=\overline{\psi(1+z)}, para z=i temos \psi(1-i)=\overline{\psi(1+i)}. Portanto \dfrac{\psi(1+i)+\psi(1-i)}{2}=\Re\psi(1+i). Usando ainda a relação \psi(1+z)=\psi(z)+1/z nota-se que a forma mais curta é escrever em termos de \psi(i); de fato uma forma bastante direta é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n^{3}+n}=3\bigl(\gamma+\Re\psi(i)\bigr).
Isso é uma expressão fechada em termos da função digama e de constantes conhecidas. Se desejar um valor numérico, calculamos uma aproximação (valores conhecidos: \gamma\approx 0{,}57721566 e \Re\psi(i)\approx 0{,}094709\ldots), daí
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n^{3}+n}\approx 3\bigl(0{,}57721566+0{,}094709\ldots\bigr)\approx 2{,}015775\ldots

Passo 7

Resumo didático curto (como aplicar isso numa prova):
  • Para testar convergência, comparar com \dfrac{3}{n^{3}} (p-série com p=3) é o caminho mais fácil.
  • Para somar, fazer decomposição em frações parciais; aqui surgem termos do tipo \dfrac{1}{n\pm i}, então a soma se expressa naturalmente via função digama usando a identidade em série da digama.
  • Se não for pedido forma elementar, a resposta em termos da digama é uma forma aceitável e elegante; se quiser número, calcule numericamente.

Resposta

Converge.
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3}{n^{3}+n}=3\bigl(\gamma+\Re\psi(i)\bigr)\approx 2{,}015775

Exercícios relacionados