Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
17) sumk=0^infty 2^k / 23^k

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumk=0^infty2^k/23^k converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo envolvido é série geométrica, então vamos identificar a razão e usar o teste e a fórmula da soma de uma geométrica.

Passo 2

Note que 2^k/2=(raiz2)^k. Assim, o termo geral da série pode ser escrito como
ak=(raiz2)^k3^k=l(raiz23r)^k

Passo 3

Para uma série geométrica sumk=0^infty r^k convergir, precisamos ter |r|<1. Aqui a razão é
r=raiz23
Como raiz2approx1,41<3, segue que |r|=raiz2/3<1. Portanto, a série converge.

Passo 4

A soma de uma série geométrica de primeira termo a e razão r é dada por S=a/(1-r). No nosso caso, o primeiro termo a é
a=a0=l(raiz23r)^0=1

Passo 5

Logo, a soma é
S=11-raiz23=13-raiz23=33-raiz2

Passo 6

Podemos racionalizar o denominador se quisermos:
33-raiz2cdot3+raiz23+raiz2=9+3raiz29-2=9+3raiz27

Resposta

A série converge (razão raiz2/3<1) e sua soma é 33-raiz2 (ou ainda 9+3raiz27).

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