Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
17)
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Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo envolvido é série geométrica, então vamos identificar a razão e usar o teste e a fórmula da soma de uma geométrica.
Passo 2
Note que
. Assim, o termo geral da série pode ser escrito como
Passo 3
Para uma série geométrica
convergir, precisamos ter
. Aqui a razão é
Como
Passo 4
A soma de uma série geométrica de primeira termo
e razão
é dada por
. No nosso caso, o primeiro termo
é
Passo 5
Logo, a soma é
Passo 6
Podemos racionalizar o denominador se quisermos:
Resposta
A série converge (razão
) e sua soma é
(ou ainda
).