Sendo o movimento de uma partícula no plano descrito pela curva alpha(t)=(3 t^2, 9 t-t^3), t in R, determine o mínimo da velocidade escalar e o(s) ponto(s) em que esse valor ocorre.

Passo 1

Temos o movimento definido por α(t) = (3 t², 9 t – t³). A tarefa é achar a velocidade escalar v(t) = ||α′(t)|| e determinar seu valor mínimo e onde ele ocorre. Vamos usar derivadas de curvas paramétricas e otimização por pontos críticos.

Passo 2

Derivamos α(t) para obter α′(t):
α′(t) = (d/dt[3 t²], d/dt[9 t – t³]) = (6 t, 9 – 3 t²).

Passo 3

Calculamos a velocidade escalar ao quadrado:
v²(t) = (6 t)² + (9 3 t²)² = 36 t² + (9 3 t²)² = 9 t⁴ 18 t² + 81 ²²²²²²²²
Logo, v(t) = raiz9 t⁴ - 18 t² + 81².

Passo 4

Para encontrar extremos de v(t) é mais simples usar v²(t). Derivando v²(t):
(v²)'(t) = 36 t³ 36 t = 36 t (t² 1)²³²
Igualando a zero dá t = 0, ±1.

Passo 5

AvaliamoS v² nos candidatos:
  • Em t = 0: v²(0) = 81 ⇒ v(0) = 9.
  • Em t = ±1: v²(±1) = 9·1 –18·1 +81 = 72 ⇒ v(±1) = raiz72 = 6raiz2.
    Como v²(t) → ∞ quando |t| → ∞, o mínimo global de v é 6√2 em t = ±1.

Passo 6

Calculamos os pontos na curva para t = ±1:
  • α(1) = (3·1², 9·1 – 1³) = (3, 8),
  • α(–1) = (3·(–1)², 9·(–1) – (–1)³) = (3, –8).

Resposta

A velocidade escalar mínima é 6raiz2 e ocorre nos pontos (3,8) e (3,-8).

Exercícios relacionados