Sendo o movimento de uma partícula no plano descrito pela curva
, determine o mínimo da velocidade escalar e o(s) ponto(s) em que esse valor ocorre.
Passo 1
Temos o movimento definido por α(t) = (3 t², 9 t – t³). A tarefa é achar a velocidade escalar v(t) = ||α′(t)|| e determinar seu valor mínimo e onde ele ocorre. Vamos usar derivadas de curvas paramétricas e otimização por pontos críticos.
Passo 2
Derivamos α(t) para obter α′(t):
α′(t) = (d/dt[3 t²], d/dt[9 t – t³]) = (6 t, 9 – 3 t²).
Passo 3
Calculamos a velocidade escalar ao quadrado:
Logo,
.
Passo 4
Para encontrar extremos de v(t) é mais simples usar v²(t). Derivando v²(t):
Igualando a zero dá t = 0, ±1.
Passo 5
AvaliamoS v² nos candidatos:
- Em t = 0: v²(0) = 81 ⇒ v(0) = 9.
- Em t = ±1: v²(±1) = 9·1 –18·1 +81 = 72 ⇒ v(±1) =
.
Como v²(t) → ∞ quando |t| → ∞, o mínimo global de v é 6√2 em t = ±1.
Passo 6
Calculamos os pontos na curva para t = ±1:
- α(1) = (3·1², 9·1 – 1³) = (3, 8),
- α(–1) = (3·(–1)², 9·(–1) – (–1)³) = (3, –8).
Resposta
A velocidade escalar mínima é
e ocorre nos pontos
e
.