Considere no espaço R^3 os pontos A=(1,2,-1), B=(0,3,-4) e C=(1,0,1). Determine:
(a) Determine as equações paramétricas e as equações cartesianas da reta r que passa por A e B.
(b) Determine as equações cartesianas da reta s que passa por A e tem a direção do vetor u=(1,1,1);
© Mostre que os pontos A, B e C não são colineares.
(d) Determine as equações paramétricas e a equação cartesiana do plano alpha que é determinado pelos pontos A, B e C.
(e) Mostre que o ponto D=(0,1,-2) pertence ao plano alpha e determine as coordenadas de D no referencial barR=(A ; A B, A C) do plano alpha.

Passo 1

Temos no espaço R^3 os pontos A=(1,2,-1), B=(0,3,-4) e C=(1,0,1). O conteúdo da matéria envolve equações paramétricas e cartesianas de retas e planos, teste de colinearidade e cálculo de coordenadas num referencial definido pelos vetores AB e AC. Para resolver, vamos usar operações com vetores (diferença, combinação linear), produto vetorial para achar norma is e solução de sistemas lineares.

Passo 2

Calculamos AB=B-A=(-1,1,-3). A reta r que passa por A e B tem equações paramétricas X=A+tAB, isto é:
x=1-t, y=2+t, z=-1-3t

Passo 3

Escrevendo em forma cartesiana temos
x-1-1=y-21=z+1-3

Passo 4

Para a reta s que passa por A com direção u=(1,1,1), as equações paramétricas são
x=1+k, y=2+k, z=-1+k
Em forma cartesiana podemos igualar as três expressões ou escrever duas equações lineares independentes:
x-1=y-2=z+1, ou ainda
x-y+1=0, y-z-3=0

Passo 5

Para mostrar que A,B,C não são colineares, basta ver que AB=(-1,1,-3) e AC=(0,-2,2) não são múltiplos escalares, logo não há um único parâmetro que percorra os três pontos em linha.

Passo 6

O plano alpha determinado por A,B,C pode ser descrito por
X=A+sAB+tAC, ou seja
x=1-s, y=2+s-2t, z=-1-3s+2t

Passo 7

Uma normal ao plano é n=ABtimesAC=(-4,2,2), que simplifica para (-2,1,1), e a equação cartesiana fica
-2(x-1)+1(y-2)+1(z+1)=0, ou
-2x+y+z+1=0

Passo 8

Para o ponto D=(0,1,-2) verificamos que
-2cdot0+1cdot1+1cdot(-2)+1=0, logo Dinalpha. As coordenadas de D no referencial (A;AB,AC) vêm de resolver
AD=sAB+tAC, isto é
(-1,-1,-1)=s(-1,1,-3)+t(0,-2,2), que dá s=1 e t=1.

Resposta

a) Para a reta r: equações paramétricas x=1-t, y=2+t, z=-1-3t e equação cartesiana x-1-1=y-21=z+1-3 b) Para a reta s: equação cartesiana x-1=y-2=z+1 (ou x-y+1=0, y-z-3=0). c) Como AB e AC não são proporcionais, A, B e C não são colineares. d) Para o plano alpha: equações paramétricas x=1-s, y=2+s-2t, z=-1-3s+2t e equação cartesiana -2x+y+z+1=0 e) O ponto D pertence a alpha e suas coordenadas no referencial (A;AB,AC) são (1,1).

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