Determine a convolução de x(t)*h(t)
x(t)=u(t+1)-u(t-1)
\mathrm{h}(\mathrm{t})=\mathrm{u}(\mathrm{t}+1)-\mathrm{u}(\mathrm{t}-1)
x(t)=u(t+1)-u(t-1)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convolução
. As informações dadas são:
onde
é a função degrau unitário. A tarefa é calcular a função resultante
para todo
.
Passo 2
Entendendo as funções dadas (sem ainda integrar): cada uma das funções
e
é a diferença de dois degraus deslocados. Vou explicar o que isso significa de forma bem concreta.
A função degrau
vale
para
e
para
. Logo:
é igual a
quando
e
simultaneamente, isto é, para
, e é
fora desse intervalo. Portanto cada sinal é um “pulso retangular” de altura
e largura
, centrado em
. Em notação de suporte:
Passo 3
Agora trago a definição que vamos usar (a parte mecânica da resolução). A convolução entre duas funções
e
é dada por
Explico cada coisa aqui:
é a variável de integração (um “tempo interno”),
é o parâmetro em que queremos avaliar a convolução. O integrando
só contribui quando ambos
e
são diferentes de zero.
Passo 4
Vamos usar o fato prático sobre indicadores/retângulos:
apenas para
e
apenas quando
. A condição
equivale a
.
Portanto o integrando é
exatamente quando
e é
fora dessa interseção. Assim a integral se reduz ao comprimento do intervalo de interseção:
desde que o limite inferior seja menor que o limite superior; caso contrário a integral é
.
Passo 5
Calculemos explicitamente os limites da interseção por faixas de
. Há três situações relevantes:
-
.
Nesse caso, então o intervalo fica totalmente à esquerda de e não há interseção. Logo . -
.
Aqui temos(porque ) e (porque ). Assim
A integral vira
-
.
Agorae , então
A integral é
-
.
Nesse caso, então fica totalmente à direita de e não há interseção. Assim .
Passo 6
Juntando as faixas e observando a simetria, podemos escrever uma forma compacta. Para
obtivemos
. Para
obtivemos
. Essas duas expressões se combinam como
para
. Fora desse intervalo o resultado é
.
Vou explicar a ligação: quando
é negativo,
e
. Quando
é positivo,
e
.