Determine a convolução de x(t)*h(t)
x(t)=u(t+1)-u(t-1)
\mathrm{h}(\mathrm{t})=\mathrm{u}(\mathrm{t}+1)-\mathrm{u}(\mathrm{t}-1)

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convolução x(t)*h(t). As informações dadas são:
x(t)=u(t+1)-u(t-1)
h(t)=u(t+1)-u(t-1)
onde u(t) é a função degrau unitário. A tarefa é calcular a função resultante (x*h)(t) para todo t.

Passo 2

Entendendo as funções dadas (sem ainda integrar): cada uma das funções x(t) e h(t) é a diferença de dois degraus deslocados. Vou explicar o que isso significa de forma bem concreta.
A função degrau u(t) vale 0 para t<0 e 1 para t\ge0. Logo:
u(t+1)-u(t-1)
é igual a 1 quando t+1\ge0 e t-1<0 simultaneamente, isto é, para -1\le t<1, e é 0 fora desse intervalo. Portanto cada sinal é um “pulso retangular” de altura 1 e largura 2, centrado em t=0. Em notação de suporte:
\operatorname{supp}(x)=\operatorname{supp}(h)=[-1,1].

Passo 3

Agora trago a definição que vamos usar (a parte mecânica da resolução). A convolução entre duas funções x e h é dada por
(x*h)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Explico cada coisa aqui: \tau é a variável de integração (um “tempo interno”), t é o parâmetro em que queremos avaliar a convolução. O integrando x(\tau)h(t-\tau) só contribui quando ambos x(\tau) e h(t-\tau) são diferentes de zero.

Passo 4

Vamos usar o fato prático sobre indicadores/retângulos: x(\tau)=1 apenas para \tau\in[-1,1] e h(t-\tau)=1 apenas quando t-\tau\in[-1,1]. A condição t-\tau\in[-1,1] equivale a \tau\in[t-1,t+1].
Portanto o integrando é 1 exatamente quando
\tau\in[-1,1]\cap[t-1,t+1],
e é 0 fora dessa interseção. Assim a integral se reduz ao comprimento do intervalo de interseção:
(x*h)(t)=\int_{\max(-1,t-1)}^{\min(1,t+1)} 1\,d\tau
desde que o limite inferior seja menor que o limite superior; caso contrário a integral é 0.

Passo 5

Calculemos explicitamente os limites da interseção por faixas de t. Há três situações relevantes:
  1. t<-2.
    Nesse caso t+1<-1, então o intervalo [t-1,t+1] fica totalmente à esquerda de [-1,1] e não há interseção. Logo (x*h)(t)=0.
  2. -2\le t\le 0.
    Aqui temos t-1\le -1 (porque t\le0) e t+1\le1 (porque t\le0). Assim
\max(-1,t-1)=-1,\qquad \min(1,t+1)=t+1.
A integral vira
(x*h)(t)=\int_{-1}^{\,t+1} 1\,d\tau=(t+1)-(-1)=t+2.
  1. 0\le t\le 2.
    Agora t-1\ge -1 e t+1\ge1, então
\max(-1,t-1)=t-1,\qquad \min(1,t+1)=1.
A integral é
(x*h)(t)=\int_{\,t-1}^{1} 1\,d\tau=1-(t-1)=2-t.
  1. t>2.
    Nesse caso t-1>1, então [t-1,t+1] fica totalmente à direita de [-1,1] e não há interseção. Assim (x*h)(t)=0.

Passo 6

Juntando as faixas e observando a simetria, podemos escrever uma forma compacta. Para -2\le t\le0 obtivemos t+2. Para 0\le t\le2 obtivemos 2-t. Essas duas expressões se combinam como 2-|t| para |t|\le2. Fora desse intervalo o resultado é 0.
Vou explicar a ligação: quando t é negativo, |t|=-t e 2-|t|=2-(-t)=t+2. Quando t é positivo, |t|=t e 2-|t|=2-t.

Resposta

(x*h)(t)= \begin{cases} 2-|t|, & \text{se } |t|\le 2,\\[4pt] 0, & \text{se } |t|>2. \end{cases}]

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