Determine a convolução de x(t)*h(t)
x(t)=u(t-a)
\mathrm{h}(\mathrm{t})=\mathrm{u}(\mathrm{t}-\mathrm{b})
x(t)=u(t-a)
Passo 1
O problema pede para determinar a convolução
quando
e
Informações relevantes dadas:
A missão é calcular
para todo
. Nada mais foi pedido nem dado.
Passo 2
Vamos escrever a definição da convolução entre duas funções
e
. Por definição,
Explicando devagar:
é a variável de integração (um “tempo interno”). Para cada
fixo, multiplicamos
por
e somamos (integrando) sobre todos os
. Só onde ambos forem não nulos a integrandá contribui.
Passo 3
Substituímos as funções dadas na integral:
Aqui usei
e
. Lembre que a função degrau unitário
vale
quando o argumento é
e vale
quando o argumento é
.
Passo 4
Para que o produto
seja igual a
temos simultaneamente:
e
Portanto o integrando é
somente quando
está no intervalo
Fora desse intervalo o integrando é
. Também é importante notar que, se
, o intervalo fica vazio e a integral será
.
Passo 5
Condições para a integral ser não nula: precisamos de
, que é equivalente a
Se
então não há
que satisfaça ambas as desigualdades e
.
Passo 6
Quando
a integral reduz-se a integrar
no intervalo
:
Juntando os dois casos (zero quando
e
quando
), podemos escrever a resposta compacta em termos do degrau unitário.
Passo 7
Expressando o resultado com um único termo usando o degrau unitário, obtemos
Comentário rápido e intuitivo: a convolução de dois degraus deslocados gera uma rampa (função linear em
) que começa quando os dois degraus passam a sobrepor-se, ou seja em
. Exemplo de checagem: se
então
, que é a rampa conhecida obtida pela convolução de dois degraus unitários.