Determine a convolução de x(t)*h(t)
x(t)=u(t-a)
\mathrm{h}(\mathrm{t})=\mathrm{u}(\mathrm{t}-\mathrm{b})

Passo 1

O problema pede para determinar a convolução x(t)*h(t) quando
x(t)=u(t-a)
e
h(t)=u(t-b).
Informações relevantes dadas:
x(t)=u(t-a)\quad\text{(função degrau unitário deslocada)}çãá
h(t)=u(t-b)\quad\text{(função degrau unitário deslocada)}çãá
A missão é calcular y(t)=(x*h)(t) para todo t. Nada mais foi pedido nem dado.

Passo 2

Vamos escrever a definição da convolução entre duas funções x e h. Por definição,
y(t)=(x*h)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Explicando devagar: \tau é a variável de integração (um “tempo interno”). Para cada t fixo, multiplicamos x(\tau) por h(t-\tau) e somamos (integrando) sobre todos os \tau. Só onde ambos forem não nulos a integrandá contribui.

Passo 3

Substituímos as funções dadas na integral:
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} u(\tau-a)\;u(t-\tau-b)\;d\tau.
Aqui usei x(\tau)=u(\tau-a) e h(t-\tau)=u(t-\tau-b). Lembre que a função degrau unitário u(\cdot) vale 1 quando o argumento é \ge 0 e vale 0 quando o argumento é <0.

Passo 4

Para que o produto u(\tau-a)\,u(t-\tau-b) seja igual a 1 temos simultaneamente:
\tau-a \ge 0 \quad\Rightarrow\quad \tau \ge a,
e
t-\tau-b \ge 0 \quad\Rightarrow\quad \tau \le t-b.
Portanto o integrando é 1 somente quando \tau está no intervalo
a \le \tau \le t-b.
Fora desse intervalo o integrando é 0. Também é importante notar que, se t-b < a, o intervalo fica vazio e a integral será 0.

Passo 5

Condições para a integral ser não nula: precisamos de t-b \ge a, que é equivalente a
t \ge a+b.
Se t < a+b então não há \tau que satisfaça ambas as desigualdades e y(t)=0.

Passo 6

Quando t \ge a+b a integral reduz-se a integrar 1 no intervalo [a,\,t-b]:
y(t)=\int_{a}^{\,t-b} 1\;d\tau = (t-b)-a = t-(a+b).
Juntando os dois casos (zero quando t<a+b e t-(a+b) quando t\ge a+b), podemos escrever a resposta compacta em termos do degrau unitário.

Passo 7

Expressando o resultado com um único termo usando o degrau unitário, obtemos
y(t)=(t-a-b)\;u(t-a-b).
Comentário rápido e intuitivo: a convolução de dois degraus deslocados gera uma rampa (função linear em t) que começa quando os dois degraus passam a sobrepor-se, ou seja em t=a+b. Exemplo de checagem: se a=b=0 então y(t)=t\,u(t), que é a rampa conhecida obtida pela convolução de dois degraus unitários.

Resposta

(x*h)(t)=(t-a-b)\;u(t-a-b)

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