Determine a convolução de x(t)*h(t)
x(t)=u(t)
\mathrm{h}(\mathrm{t})=\mathrm{u}(\mathrm{t})
x(t)=u(t)
Passo 1
O enunciado pede para determinar a convolução entre
e
.\n
Informações dadas:\n
\n
\n
Pergunta: Calcular , ou seja, a função resultante da convolução de
com
.
Informações dadas:\n
Pergunta: Calcular
Passo 2
Vamos lembrar o que é a função degrau unitário
\n
Explicando de forma simples:
para tempos negativos e vale
a partir de
. O valor em
(às vezes tomado como
em teoria) não altera integrais e convoluções, então podemos adotar
sem perda prática.]
Passo 3
A definição da convolução entre duas funções contínuas no tempo é\n
Aqui
é a variável de integração (uma variável “dummy”) e
é o parâmetro onde avaliamoss a saída. A ideia física/geométrica: para cada
deslocamos
por
, multiplicamos ponto a ponto por
e somamos (integramos) a sobreposição.
Passo 4
Substituindo
e
na integral, obtemos\n
Agora analisamos onde o integrando é diferente de zero. Pelo que vimos em
:\n
-
é não nulo (igual a 1) somente quando .\n -
é não nulo (igual a 1) somente quando , isto é, quando .\n
Portanto o produtovale somente quando ambas condições ocorrerem simultaneamente: e . Ou seja, quando . Se não há que satisfaça isso, o integrando é zero.
Passo 5
Combinando os casos em
:\n
- Se
então a condição não pode ser satisfeita (pois isso exigiria número negativo). Logo o integrando é sempre zero e a integral vale .\n - Se
então a condição é , portanto a integral reduz-se a integrar nesse intervalo:\n
Passo 6
Juntando os dois casos obtemos a expressão completa da saída:\n
Em notação compacta usamos o degrau unitário para escrever isso como\n
Interpretação intuitiva: a convolução de dois degraus acumula a “área de sobreposição” que cresce linearmente com
a partir de
; por isso sai uma rampa.]
Passo 7
Verificação rápida (checagem mental): a derivada de
para
é
, que é
para
, consistente com a ideia de que convoluir duas integrações resulta em uma integração acumulada. Também o valor em
da função resultante é
, como calculado pela integral de comprimento zero.