Determine a convolução de x(t)*h(t)
x(t)=u(t)
\mathrm{h}(\mathrm{t})=\mathrm{u}(\mathrm{t})

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convolução entre x(t) e h(t).\n
Informações dadas:\n
x(t)=u(t)\n
h(t)=u(t)\n
Pergunta: Calcular (x*h)(t), ou seja, a função resultante da convolução de u(t) com u(t).

Passo 2

Vamos lembrar o que é a função degrau unitário u(t)\).\n Por definição usamos a forma prática\n \[u(t)=\begin{cases}0,& t<0,\\[4pt]1,& t\ge 0.\end{cases}\n
Explicando de forma simples: u(t)\] vale \(0 para tempos negativos e vale 1 a partir de t=0. O valor em t=0 (às vezes tomado como 1/2 em teoria) não altera integrais e convoluções, então podemos adotar u(0)=1 sem perda prática.]

Passo 3

A definição da convolução entre duas funções contínuas no tempo é\n
(x*h)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.\n
Aqui \tau é a variável de integração (uma variável “dummy”) e t é o parâmetro onde avaliamoss a saída. A ideia física/geométrica: para cada t deslocamos h por t, multiplicamos ponto a ponto por x e somamos (integramos) a sobreposição.

Passo 4

Substituindo x(\tau)=u(\tau) e h(t-\tau)=u(t-\tau) na integral, obtemos\n
(y)(t)=(x*h)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} u(\tau)\,u(t-\tau)\,d\tau.\n
Agora analisamos onde o integrando é diferente de zero. Pelo que vimos em u:\n
  • u(\tau) é não nulo (igual a 1) somente quando \tau\ge 0.\n
  • u(t-\tau) é não nulo (igual a 1) somente quando t-\tau\ge 0, isto é, quando \tau\le t.\n
    Portanto o produto u(\tau)u(t-\tau) vale 1 somente quando ambas condições ocorrerem simultaneamente: \tau\ge 0 e \tau\le t. Ou seja, quando 0\le \tau\le t. Se não há \tau que satisfaça isso, o integrando é zero.

Passo 5

Combinando os casos em t:\n
  • Se t<0 então a condição 0\le \tau\le t não pode ser satisfeita (pois isso exigiria 0\le\tau\le número negativo). Logo o integrando é sempre zero e a integral vale 0.\n
  • Se t\ge 0 então a condição é 0\le \tau\le t, portanto a integral reduz-se a integrar 1 nesse intervalo:\n
(x*h)(t)=\int_{0}^{t} 1\, d\tau = t-0 = t\qquad\text{para }t\ge 0.

Passo 6

Juntando os dois casos obtemos a expressão completa da saída:\n
(x*h)(t)=\begin{cases}0,& t<0,\\[4pt]t,& t\ge 0.\end{cases}\n
Em notação compacta usamos o degrau unitário para escrever isso como\n
(x*h)(t)=t\,u(t).\n
Interpretação intuitiva: a convolução de dois degraus acumula a “área de sobreposição” que cresce linearmente com t a partir de 0; por isso sai uma rampa.]

Passo 7

Verificação rápida (checagem mental): a derivada de t\,u(t) para t>0 é 1, que é u(t) para t>0, consistente com a ideia de que convoluir duas integrações resulta em uma integração acumulada. Também o valor em t=0 da função resultante é 0, como calculado pela integral de comprimento zero.

Resposta

(x*h)(t)=t\,u(t)

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