Determine a convolução de x(t)*h(t)
x(t)=u(t)
h(t)=e^{-t} u(t)
x(t)=u(t)
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a convolução de
com
, isto é calcular
As informações dadas:
Aqui
é a função degrau unitário (unit step). Não há outras informações ou figuras; tudo o que precisamos está explicitado acima.
Passo 2
Entender o que é convolução (a definição que vamos usar): para sinais de tempo contínuo a convolução é
Explicação didática: essa integral “corre”
sobre
. Pense como somar (integrar) a sobreposição de
e uma versão invertida/atrasada de
. Cada
contribui com o produto
.
Passo 3
Entender as funções dadas e suas suportes (onde são não nulas):
Logo
e igual a
para
.
-
é a exponencial causal: é zero para e igual a para .
Portanto ambos são sinais causais (nulos para tempo negativo). Isso simplifica muito os limites da integral de convolução.
Passo 4
Montar a integral de convolução aplicando os sinais:
Agora usamos as propriedades do degrau para determinar onde o integrando é diferente de zero. O integrando é produto de três fatores:
,
e
.
-
exige . -
exige , isto é .
Assim o produto é não nulo somente quando. Se esse intervalo é vazio, logo para .
Passo 5
Resumindo os limites: a integral efetiva é, para
,
e para
temos
. Esse passo é crucial: a função degrau “corta” a integral, transformando o intervalo infinito em
.
Passo 6
Calcular a integral explicitamente (passo a passo, sem pular etapas). Para
temos
Fatoramos
(pois não depende de
):
Agora integramos
. A primitiva de
é
. Portanto
Substituindo de volta:
Passo 7
Simplificar o resultado (passo algébrico simples):
Lembre-se que essa expressão vale apenas para
; para
temos
. A forma compacta usando o degrau unitário é então
Passo 8
Verificação rápida (intuição): quando
vemos
então
. Isso faz sentido: convoluir o degrau (soma acumulada) com uma resposta exponencial com área igual a
tende a produzir uma saída que sobe até
. Para
a saída é zero por causalidade. Tudo consistente.
Passo 9
Resumo didático-prático para a prova (o que você pode escrever rapidamente): escreva a definição da convolução, use que os degraus limitam a integral a
, calcule a integral exponencial, simplifique e coloque o resultado multiplicado por
.