Determine a convolução de x(t)*h(t)
x(t)=u(t)
h(t)=e^{-t} u(t)

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a convolução de x(t) com h(t), isto é calcular
y(t) = x(t) * h(t).
As informações dadas:
x(t)=u(t)
h(t)=e^{-t}u(t)
Aqui u(t) é a função degrau unitário (unit step). Não há outras informações ou figuras; tudo o que precisamos está explicitado acima.

Passo 2

Entender o que é convolução (a definição que vamos usar): para sinais de tempo contínuo a convolução é
y(t) = (x*h)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Explicação didática: essa integral “corre” x(\tau) sobre h(t-\tau). Pense como somar (integrar) a sobreposição de x e uma versão invertida/atrasada de h. Cada \tau contribui com o produto x(\tau)h(t-\tau).

Passo 3

Entender as funções dadas e suas suportes (onde são não nulas):
  • u(t)\) é o degrau unitário, ou seja \[u(t)=\begin{cases}0, & t<0,\\\\ 1, & t\ge 0.\end{cases}
Logo x(\tau)=u(\tau)\] é zero para \(\tau<0 e igual a 1 para \tau\ge0.
  • h(t)=e^{-t}u(t) é a exponencial causal: é zero para t<0 e igual a e^{-t} para t\ge0.
    Portanto ambos são sinais causais (nulos para tempo negativo). Isso simplifica muito os limites da integral de convolução.

Passo 4

Montar a integral de convolução aplicando os sinais:
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} u(\tau)\, e^{-(t-\tau)}u(t-\tau)\,d\tau.
Agora usamos as propriedades do degrau para determinar onde o integrando é diferente de zero. O integrando é produto de três fatores: u(\tau), e^{-(t-\tau)} e u(t-\tau).
  • u(\tau) exige \tau\ge 0.
  • u(t-\tau) exige t-\tau\ge 0, isto é \tau\le t.
    Assim o produto é não nulo somente quando 0 \le \tau \le t. Se t<0 esse intervalo é vazio, logo y(t)=0 para t<0.

Passo 5

Resumindo os limites: a integral efetiva é, para t\ge 0,
y(t)=\int_{0}^{t} e^{-(t-\tau)}\,d\tau,
e para t<0 temos y(t)=0. Esse passo é crucial: a função degrau “corta” a integral, transformando o intervalo infinito em [0,t].

Passo 6

Calcular a integral explicitamente (passo a passo, sem pular etapas). Para t\ge 0 temos
y(t)=\int_{0}^{t} e^{-(t-\tau)}\,d\tau.
Fatoramos e^{-t} (pois não depende de \tau):
y(t)=e^{-t}\int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau.
Agora integramos e^{\tau}. A primitiva de e^{\tau} é e^{\tau}. Portanto
\int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau = e^{t} - e^{0} = e^{t} - 1.
Substituindo de volta:
y(t)=e^{-t}\left(e^{t}-1\right).

Passo 7

Simplificar o resultado (passo algébrico simples):
y(t)=e^{-t}e^{t} - e^{-t}\cdot 1 = 1 - e^{-t}.
Lembre-se que essa expressão vale apenas para t\ge 0; para t<0 temos y(t)=0. A forma compacta usando o degrau unitário é então
y(t) = \bigl(1 - e^{-t}\bigr) u(t).

Passo 8

Verificação rápida (intuição): quando t\to\infty vemos e^{-t}\to 0 então y(t)\to 1. Isso faz sentido: convoluir o degrau (soma acumulada) com uma resposta exponencial com área igual a 1 tende a produzir uma saída que sobe até 1. Para t<0 a saída é zero por causalidade. Tudo consistente.

Passo 9

Resumo didático-prático para a prova (o que você pode escrever rapidamente): escreva a definição da convolução, use que os degraus limitam a integral a [0,t], calcule a integral exponencial, simplifique e coloque o resultado multiplicado por u(t).

Resposta

y(t) = \bigl(1 - e^{-t}\bigr) u(t)

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