Determine a convolução de x(t)*h(t)
x(t)=2(u(t)-u(t-2))
h(t)=e^{-t / 2} u(t)

Passo 1

O enunciado dá as duas funções:
x(t)=2\big(u(t)-u(t-2)\big)
h(t)=e^{-t/2}\,u(t)
e pede para calcular a convolução x(t)*h(t), isto é, a saída
y(t)=(x*h)(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Informações importantes dadas:
  • x(t) é um pulso de amplitude 2 que vale zero fora do intervalo [0,2) (pois u(t) é 1 para t\ge0 e u(t-2) anula para t<2).
  • h(t) é a resposta exponencial causal e^{-t/2} multiplicada pela função degrau unitário u(t), logo h(t)=0 para t<0.
    Pergunta a responder: encontrar explicitamente y(t)=(x*h)(t) para todo t.

Passo 2

Vou usar a definição de convolução e analisar onde o integrando é não nulo. A definição:
y(t)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Explicando passo a passo:
  • x(\tau) é não nulo somente quando 0\le \tau<2. Então fora desse intervalo o integrando é zero.
  • h(t-\tau)=e^{-(t-\tau)/2}u(t-\tau) é não nulo somente quando t-\tau\ge0, ou seja \tau\le t.
    Portanto, a integral reduz-se ao intervalo onde ambas condições valem: \tau deve satisfazer 0\le\tau<2 e \tau\le t. Assim os limites de integração vão de \tau=0 até \tau=\min(t,2), desde que haja interseção. Se não houver interseção (por exemplo t<0) a integral é zero.

Passo 3

Escrevo então a integral com os limites apropriados:
y(t)=\int_{0}^{\min(t,2)} 2\cdot e^{-(t-\tau)/2}\,d\tau,
válida quando \min(t,2)>0. Para t<0 não há interseção e y(t)=0. Agora vou calcular essa integral em forma geral e depois separar os casos de t.

Passo 4

Factorizo o termo que não depende de \tau:
y(t)=2e^{-t/2}\int_{0}^{\min(t,2)} e^{\tau/2}\,d\tau.
Agora preciso integrar e^{\tau/2} em relação a \tau. Lembra: \int e^{a\tau}\,d\tau = \frac{1}{a}e^{a\tau}. Aqui a=\tfrac{1}{2}, então
\int e^{\tau/2}\,d\tau = 2e^{\tau/2}.
Aplicando aos limites de integração:
\int_{0}^{\min(t,2)} e^{\tau/2}\,d\tau = 2\big(e^{\min(t,2)/2}-1\big).

Passo 5

Substituindo de volta em y(t):
y(t)=2e^{-t/2}\cdot 2\big(e^{\min(t,2)/2}-1\big)=4e^{-t/2}\big(e^{\min(t,2)/2}-1\big).
Agora desdobro isso em intervalos de t para ficar mais claro:
  • Para t<0: como já observado, não há sobreposição dos suportes, então y(t)=0.
  • Para 0\le t<2: temos \min(t,2)=t. Substituindo:
y(t)=4e^{-t/2}\big(e^{t/2}-1\big).
Simplificando e^{-t/2}e^{t/2}=1, obtemos
y(t)=4\big(1-e^{-t/2}\big),\qquad 0\le t<2.
  • Para t\ge 2: temos \min(t,2)=2. Substituindo:
y(t)=4e^{-t/2}\big(e^{2/2}-1\big)=4e^{-t/2}\big(e-1\big).

Passo 6

Posso escrever a forma para t\ge2 de maneira mais intuitiva usando um deslocamento em exponencial. Note que
4(e-1)e^{-t/2}=4(1-e^{-1})\,e^{-(t-2)/2},
porque e-1=e(1-e^{-1}) e e\cdot e^{-t/2}=e^{-(t-2)/2}. Essa forma mostra que para t\ge2 a resposta decai exponencialmente a partir de t=2 com a mesma constante de tempo.

Passo 7

Verificação rápida de continuidade em t=2: limite pela esquerda em t=2^-
y(2^-)=4\big(1-e^{-2/2}\big)=4(1-e^{-1}).
pela direita em t=2^+
y(2^+)=4(e-1)e^{-2/2}=4(e-1)e^{-1}=4(1-e^{-1}).
São iguais, portanto a função é contínua em t=2 (boa checagem para prova).

Resposta

y(t)=(x*h)(t)= \begin{cases} 0, & t<0,\\[6pt] 4\big(1-e^{-t/2}\big), & 0\le t<2,\\[6pt] 4(e-1)e^{-t/2}, & t\ge 2. \end{cases}]

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