Determine a convolução de x(t)*h(t)
x(t)=2(u(t)-u(t-2))
h(t)=e^{-t / 2} u(t)
x(t)=2(u(t)-u(t-2))
Passo 1
O enunciado dá as duas funções:
e pede para calcular a convolução
, isto é, a saída
Informações importantes dadas:
-
é um pulso de amplitude que vale zero fora do intervalo (pois é 1 para e anula para ). -
é a resposta exponencial causal multiplicada pela função degrau unitário , logo para .
Pergunta a responder: encontrar explicitamentepara todo .
Passo 2
Vou usar a definição de convolução e analisar onde o integrando é não nulo. A definição:
Explicando passo a passo:
-
é não nulo somente quando . Então fora desse intervalo o integrando é zero. -
é não nulo somente quando , ou seja .
Portanto, a integral reduz-se ao intervalo onde ambas condições valem:deve satisfazer e . Assim os limites de integração vão de até , desde que haja interseção. Se não houver interseção (por exemplo ) a integral é zero.
Passo 3
Escrevo então a integral com os limites apropriados:
válida quando
. Para
não há interseção e
. Agora vou calcular essa integral em forma geral e depois separar os casos de
.
Passo 4
Factorizo o termo que não depende de
:
Agora preciso integrar
em relação a
. Lembra:
. Aqui
, então
Aplicando aos limites de integração:
Passo 5
Substituindo de volta em
:
Agora desdobro isso em intervalos de
para ficar mais claro:
-
Para
: como já observado, não há sobreposição dos suportes, então . -
Para
: temos . Substituindo:
Simplificando
, obtemos
- Para
: temos . Substituindo:
Passo 6
Posso escrever a forma para
de maneira mais intuitiva usando um deslocamento em exponencial. Note que
porque
e
. Essa forma mostra que para
a resposta decai exponencialmente a partir de
com a mesma constante de tempo.
Passo 7
Verificação rápida de continuidade em
: limite pela esquerda em
pela direita em
São iguais, portanto a função é contínua em
(boa checagem para prova).