Determine as coordenadas x e y do centro C da elipse S.
Considere a cônica S obtida da elipse de equação
(x-1)^24+y^2=1
por uma rotação de 30^circ no sentido anti-horário ao redor da origem.

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do centro C da elipse S, obtida ao girar a elipse de equação
(x-1)^24 + y^2 = 1
em 30^circ no sentido anti-horário em torno da origem. Vamos usar transformações de cônicas e rotação de pontos.

Passo 2

A elipse original está na forma
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1
com h=1 e k=0. Logo, seu centro é o ponto (1,0).

Passo 3

Uma rotação de um ponto em ângulo no sentido anti-horário é dada por
ou seja

Passo 4

Aqui theta=30^circ, com
cos30^circ = tfracraiz32, sin30^circ = tfrac12
Aplicando em (x,y)=(1,0) temos
xC = 1cdottfracraiz32 - 0cdottfrac12 = tfracraiz32, yC = 1cdottfrac12 + 0cdottfracraiz32 = tfrac12

Resposta

As coordenadas do centro são
C!l(tfracraiz32,,tfrac12r)

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