Determine as coordenadas x e y do ponto mais alto A, do ponto mais baixo B, do ponto mais a direita D e do ponto mais a esquerda E da elipse S.
Considere a cônica S obtida da elipse de equação
(x-1)^24+y^2=1
por uma rotação de 30^circ no sentido anti-horário ao redor da origem.

Passo 1

O enunciado pede os pontos extremos (mais alto, mais baixo, mais à direita e mais à esquerda) da elipse
(x-1)^24+y^2=1
após rotacioná-la em 30^circ no sentido anti-horário em torno da origem. O conteúdo envolve identificar primeiro os extremos da elipse antes da rotação e depois aplicar a matriz de rotação.

Passo 2

Identificamos os extremos da elipse original (antes da rotação). Ela é centrada em (1,0), com semi-eixo maior a=2 ao longo de x e semi-eixo menor b=1 ao longo de y. Logo:
ponto mais a<o:& A0=(1,1), ponto mais baixo:& B0=(1,-1), ponto mais à direita:& D0=(1+2,0)=(3,0), ponto mais à esquerda:& E0=(1-2,0)=(-1,0) àà

Passo 3

A rotação de 30^circ no sentido anti-horário é dada pela matriz
R = cos 30^circ & -sin 30^circ sin 30^circ & cos 30^circ = tfracraiz32 & -tfrac12 tfrac12 & tfracraiz32

Passo 4

Aplicamos R a cada ponto P0=(x0,y0) para obter P=R,P0.
1. Para A0=(1,1):
A=R11 = tfracraiz32-tfrac12 tfrac12+tfracraiz32 =gl(tfracraiz3-12,;tfrac1+raiz32gr)
2. Para B0=(1,-1):
B=R1-1 = tfracraiz32+tfrac12 tfrac12-tfracraiz32 =gl(tfracraiz3+12,;tfrac1-raiz32gr)
3. Para D0=(3,0):
D=R30 = 3,tfracraiz32 3,tfrac12 =l(tfrac3raiz32,;tfrac32r)
4. Para E0=(-1,0):
E=R-10 = -tfracraiz32 -tfrac12 =l(-tfracraiz32,;-tfrac12r)

Resposta

A=l(tfracraiz3-12,;tfrac1+raiz32r) B=l(tfracraiz3+12,;tfrac1-raiz32r) D=l(tfrac3raiz32,;tfrac32r) E=l(-tfracraiz32,;-tfrac12r)

Exercícios relacionados