Determine a equação da forma
a x^2+b x y+c y^2+d x+e y+f=0
que tem como solução a cônica S.
Considere a cônica S obtida da elipse de equação
(x-1)^24+y^2=1
por uma rotação de 30^circ no sentido anti-horário ao redor da origem.

Passo 1

O enunciado dá a elipse
(u-1)^24+v^2=1
no sistema de coordenadas (u,v), e pede a equação da cônica S obtida ao girar essa elipse em 30^circ no sentido anti-horário em torno da origem. Para resolver, vamos usar a transformação de rotação inversa nas coordenadas: expressar u e v em função de x e y, depois substituir na equação da elipse e expandir.

Passo 2

A rotação de no sentido anti-horário faz
Para voltar a em função de usamos o ângulo , obtendo

Passo 3

A equação da elipse é
(u-1)^24 + v^2 = 1
Multiplicando ambos os lados por 4 fica
(u-1)^2 + 4,v^2 = 4

Passo 4

Substituímos
u-1 = raiz32x + 12,y - 1, v = -12,x + raiz32y
na identidade (u-1)^2 + 4v^2=4, ou seja,
l(tfracraiz32x + tfrac12y -1r)^2 +4l(-tfrac12x + tfracraiz32yr)^2 =4

Passo 5

Agora expandimos e coletamos termos. Primeiro termo:
l(tfracraiz32x + tfrac12y -1r)^2 = tfrac34x^2 + tfracraiz32xy + tfrac14y^2 -raiz3,x - y +1
Segundo termo:
4l(-tfrac12x + tfracraiz32yr)^2 = x^2 -2raiz3,xy +3y^2
Somando e igualando a 4
74x^2 - 3raiz32xy + 134y^2 - raiz3,x - y +1 =4
Passando o 4 para o lado esquerdo e multiplicando tudo por 4 para eliminar frações, obtemos
7x^2 -6raiz3,xy +13y^2 -4raiz3,x -4y -12 =0

Resposta

A equação da cônica S é
7x^2 -6raiz3,xy +13y^2 -4raiz3,x -4y -12 =0

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