Determine a equação da forma
que tem como solução a cônica
.
Considere a cônica
obtida da elipse de equação
por uma rotação de
no sentido anti-horário ao redor da origem.
Considere a cônica
Passo 1
O enunciado dá a elipse
no sistema de coordenadas
, e pede a equação da cônica
obtida ao girar essa elipse em
no sentido anti-horário em torno da origem. Para resolver, vamos usar a transformação de rotação inversa nas coordenadas: expressar
e
em função de
e
, depois substituir na equação da elipse e expandir.
Passo 2
A rotação de
no sentido anti-horário faz
Para voltar a
em função de
usamos o ângulo
, obtendo
Passo 3
A equação da elipse é
Multiplicando ambos os lados por
fica
Passo 4
Substituímos
na identidade
, ou seja,
Passo 5
Agora expandimos e coletamos termos. Primeiro termo:
Segundo termo:
Somando e igualando a
dá
Passando o
para o lado esquerdo e multiplicando tudo por
para eliminar frações, obtemos
Resposta
A equação da cônica
é