Determine as coordenadas do circuncentro do triângulo determinado pelos pontos
,
e
.
Passo 1
O enunciado dá três pontos no plano e pede as coordenadas do circuncentro do triângulo formado por eles.
Pontos dados: ,
e
.
Pergunta: determinar as coordenadas do circuncentro (o centro da circunferência que passa por ,
e
).
Pontos dados:
Pergunta: determinar as coordenadas do circuncentro (o centro da circunferência que passa por
Passo 2
O que é circuncentro e como vamos achar (aula rápida): o circuncentro é o ponto equidistante dos três vértices do triângulo. Uma propriedade prática para achar esse ponto é que ele é a interseção das mediatrizes (bissetrizes perpendiculares dos lados) do triângulo.
- Mediatriz de um segmento: é a reta que passa pelo ponto médio do segmento e é perpendicular a ele.
Vou então calcular duas mediatrizes (por exemplo, as das arestase ) e encontrar o ponto de interseção delas.
Passo 3
Calculando os pontos médios (fórmula): o ponto médio entre
e
é
.
- Ponto médio de
: aplicando com e ,
- Ponto médio de
: aplicando com e ,
Passo 4
Calculando as inclinações (declives) das retas dos lados (fórmula): a inclinação entre
e
é
(quando
).
- Inclinação de
:
- Inclinação de
:
como o denominador é
, a reta
é vertical (ou seja, é a reta
).
Passo 5
Inclinações das mediatrizes (regra): a reta perpendicular a outra tem inclinação igual ao negativo do recíproco da inclinação original (ou seja, se uma reta tem inclinação
, a perpendicular tem inclinação
). Casos especiais: se a reta original é vertical, a perpendicular é horizontal (inclinação
); se a original é horizontal (inclinação
), a perpendicular é vertical.
- Para
com , a mediatriz terá inclinação
- Para
que é vertical, a mediatriz será horizontal, portanto terá inclinação .
Passo 6
Equações das mediatrizes (usando forma ponto-inclinação): a equação de uma reta com inclinação
passando por
pode ser escrita como
.
- Mediatriz de
: passa por e tem inclinação . Logo,
Isolando,
- Mediatriz de
: passa por e é horizontal, então sua equação é simplesmente
Passo 7
Interseção das mediatrizes (resolver o sistema): as duas equações são
e
. Igualando,
Logo
. Substituindo em
dá
. Assim o ponto de interseção é
.
Passo 8
Verificação rápida (opcional, mas bom para garantir): checar que as distâncias ao ponto
até
,
e
são iguais. Distância ao quadrado (para evitar raiz): para
,
Para
,
Para
,
Todas iguais a
, confirmando que
é equidistante dos três vértices — é o circuncentro.