Determine as coordenadas do circuncentro do triângulo determinado pelos pontos \mathrm{A}=(2,0), \mathrm{B}=(-2,4) e \mathrm{C}=(2,10).

Passo 1

O enunciado dá três pontos no plano e pede as coordenadas do circuncentro do triângulo formado por eles.
Pontos dados: A=(2,0), B=(-2,4) e C=(2,10).
Pergunta: determinar as coordenadas do circuncentro (o centro da circunferência que passa por A, B e C).

Passo 2

O que é circuncentro e como vamos achar (aula rápida): o circuncentro é o ponto equidistante dos três vértices do triângulo. Uma propriedade prática para achar esse ponto é que ele é a interseção das mediatrizes (bissetrizes perpendiculares dos lados) do triângulo.
  • Mediatriz de um segmento: é a reta que passa pelo ponto médio do segmento e é perpendicular a ele.
    Vou então calcular duas mediatrizes (por exemplo, as das arestas AB e AC) e encontrar o ponto de interseção delas.

Passo 3

Calculando os pontos médios (fórmula): o ponto médio entre (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é \big(\tfrac{x_1+x_2}{2},\tfrac{y_1+y_2}{2}\big).
  • Ponto médio de AB: aplicando com A=(2,0) e B=(-2,4),
M_{AB}=\left(\tfrac{2+(-2)}{2},\tfrac{0+4}{2}\right)=\left(0,2\right).
  • Ponto médio de AC: aplicando com A=(2,0) e C=(2,10),
M_{AC}=\left(\tfrac{2+2}{2},\tfrac{0+10}{2}\right)=\left(2,5\right).

Passo 4

Calculando as inclinações (declives) das retas dos lados (fórmula): a inclinação entre (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} (quando x_2\neq x_1).
  • Inclinação de AB:
m_{AB}=\dfrac{4-0}{-2-2}=\dfrac{4}{-4}=-1.
  • Inclinação de AC:
m_{AC}=\dfrac{10-0}{2-2}=\dfrac{10}{0},
como o denominador é 0, a reta AC é vertical (ou seja, é a reta x=2).

Passo 5

Inclinações das mediatrizes (regra): a reta perpendicular a outra tem inclinação igual ao negativo do recíproco da inclinação original (ou seja, se uma reta tem inclinação m, a perpendicular tem inclinação -1/m). Casos especiais: se a reta original é vertical, a perpendicular é horizontal (inclinação 0); se a original é horizontal (inclinação 0), a perpendicular é vertical.
  • Para AB com m_{AB}=-1, a mediatriz terá inclinação
m_{\perp AB}=-\frac{1}{m_{AB}}=-\frac{1}{-1}=1.
  • Para AC que é vertical, a mediatriz será horizontal, portanto terá inclinação m_{\perp AC}=0.

Passo 6

Equações das mediatrizes (usando forma ponto-inclinação): a equação de uma reta com inclinação m passando por (x_0,y_0) pode ser escrita como y-y_0=m(x-x_0).
  • Mediatriz de AB: passa por M_{AB}=(0,2) e tem inclinação m_{\perp AB}=1. Logo,
y-2=1\cdot(x-0).
Isolando,
y=x+2.
  • Mediatriz de AC: passa por M_{AC}=(2,5) e é horizontal, então sua equação é simplesmente
y=5.

Passo 7

Interseção das mediatrizes (resolver o sistema): as duas equações são y=x+2 e y=5. Igualando,
x+2=5.
Logo x=3. Substituindo em y=5 y=5. Assim o ponto de interseção é (3,5).

Passo 8

Verificação rápida (opcional, mas bom para garantir): checar que as distâncias ao ponto (3,5) até A, B e C são iguais. Distância ao quadrado (para evitar raiz): para A=(2,0),
d_A^2=(3-2)^2+(5-0)^2=1^2+5^2=1+25=26.
Para B=(-2,4),
d_B^2=(3-(-2))^2+(5-4)^2=5^2+1^2=25+1=26.
Para C=(2,10),
d_C^2=(3-2)^2+(5-10)^2=1^2+(-5)^2=1+25=26.
Todas iguais a 26, confirmando que (3,5) é equidistante dos três vértices — é o circuncentro.

Resposta

(3,5)

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