A hipotenusa de um triângulo retângulo está contida na reta \mathrm{r}: \mathrm{y}=5 \mathrm{x}-13, enquanto um de seus catetos está em s: y=x-1. Se o vértice onde está o ângulo reto é um ponto na forma ( k, 5 ) em \mathbf{s}, determine:
a) Todos os vértices do triângulo.
b) A altura do triângulo em relação à hipotenusa.

Passo 1

O enunciado dá as retas \mathrm{r}: y=5x-13 (que contém a hipotenusa) e \mathrm{s}: y=x-1 (que contém um cateto). Diz que o vértice do ângulo reto tem a forma (k,5) e pertence a \mathrm{s}. Perguntas: (a) determinar todos os vértices do triângulo; (b) determinar a altura do triângulo relativa à hipotenusa. Informações relevantes listadas: \mathrm{r}: y=5x-13, \mathrm{s}: y=x-1, vértice do ângulo reto é (k,5)\in\mathrm{s}.

Passo 2

Encontrar k usando que (k,5) está em \mathrm{s}. Substituindo em \mathrm{s}: y=x-1:
5 = k-1.
Logo
k = 6.
Portanto o vértice do ângulo reto é A=(6,5).

Passo 3

Identificar um dos outros vértices: como um cateto está em \mathrm{s}\) e a hipotenusa está em \(\mathrm{r}\), o ponto onde esse cateto encontra a hipotenusa é a interseção \(\mathrm{s}\cap\mathrm{r}\). Para achar \(B=\mathrm{s}\cap\mathrm{r}\) resolvemos o sistema \[\begin{cases} y=x-1,\\[4pt] y=5x-13. \end{cases}
Igualando as duas expressões para y\]: \[x-1 = 5x-13 \implies -1+13 = 5x-x \implies 12 = 4x \implies x=3.\] Substituindo em \(y=x-1 vem y=2. Assim B=(3,2).]

Passo 4

Explicar como achar o terceiro vértice C. Temos o triângulo com vértice reto em A, um cateto AB sobre \mathrm{s} e hipotenusa sobre \mathrm{r}. O outro cateto AC deve ser perpendicular a \mathrm{s} e passar por A. Portanto construiremos a reta por A perpendicular à \mathrm{s}.

Passo 5

Calcular a equação da reta AC. A reta \mathrm{s} tem coeficiente angular (inclinação) m_{\mathrm{s}}=1 porque \mathrm{s}: y=x-1. A reta perpendicular tem coeficiente angular m_{ \perp}=-\dfrac{1}{m_{\mathrm{s}}}=-1. A reta que passa por A=(6,5) e tem inclinação -1 é
y-5 = -1(x-6).
Simplificando:
y = -x + 11.

Passo 6

Encontrar C como interseção entre a reta AC: y=-x+11 e a hipotenusa \mathrm{r}: y=5x-13. Igualando:
-x+11 = 5x-13 \implies 11+13 = 5x + x \implies 24 = 6x \implies x=4.
Então y = 5\cdot 4 - 13 = 7. Logo C=(4,7).

Passo 7

Verificação rápida (didática): slopes dos segmentos confirmam o ângulo reto em A. O coeficiente angular de AB é
m_{AB}=\frac{2-5}{3-6}=\frac{-3}{-3}=1,
o de AC é
m_{AC}=\frac{7-5}{4-6}=\frac{2}{-2}=-1.
Como m_{AB}\cdot m_{AC}=1\cdot(-1)=-1, os segmentos são perpendiculares, confirmando que A é o vértice reto.

Passo 8

Calcular a altura relativa à hipotenusa: é a distância do ponto A=(6,5) à reta \mathrm{r}: y=5x-13. Usamos a fórmula da distância ponto–reta. Escrevendo \mathrm{r} na forma Ax+By+C=0:
5x-y-13=0,
ou seja A=5, B=-1, C=-13. A distância do ponto (x_0,y_0)=(6,5) à reta é
\mathrm{dist} = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.
Substituindo:
\mathrm{dist} = \frac{|5\cdot 6 + (-1)\cdot 5 + (-13)|}{\sqrt{5^2+(-1)^2}} = \frac{|30-5-13|}{\sqrt{25+1}} = \frac{12}{\sqrt{26}}.
Podemos racionalizar:
\frac{12}{\sqrt{26}} = \frac{12\sqrt{26}}{26} = \frac{6\sqrt{26}}{13}.

Resposta

(6,5),\\ (3,2),\\ (4,7)
\displaystyle \frac{12}{\sqrt{26}}=\frac{6\sqrt{26}}{13}

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