A hipotenusa de um triângulo retângulo está contida na reta
, enquanto um de seus catetos está em
. Se o vértice onde está o ângulo reto é um ponto na forma (
) em
, determine:
a) Todos os vértices do triângulo.
b) A altura do triângulo em relação à hipotenusa.
a) Todos os vértices do triângulo.
b) A altura do triângulo em relação à hipotenusa.
Passo 1
O enunciado dá as retas
(que contém a hipotenusa) e
(que contém um cateto). Diz que o vértice do ângulo reto tem a forma
e pertence a
. Perguntas: (a) determinar todos os vértices do triângulo; (b) determinar a altura do triângulo relativa à hipotenusa. Informações relevantes listadas:
,
, vértice do ângulo reto é
.
Passo 2
Encontrar
usando que
está em
. Substituindo em
:
Logo
Portanto o vértice do ângulo reto é
.
Passo 3
Identificar um dos outros vértices: como um cateto está em
Igualando as duas expressões para
vem
. Assim
.]
Passo 4
Explicar como achar o terceiro vértice
. Temos o triângulo com vértice reto em
, um cateto
sobre
e hipotenusa sobre
. O outro cateto
deve ser perpendicular a
e passar por
. Portanto construiremos a reta por
perpendicular à
.
Passo 5
Calcular a equação da reta
. A reta
tem coeficiente angular (inclinação)
porque
. A reta perpendicular tem coeficiente angular
. A reta que passa por
e tem inclinação
é
Simplificando:
Passo 6
Encontrar
como interseção entre a reta
e a hipotenusa
. Igualando:
Então
. Logo
.
Passo 7
Verificação rápida (didática): slopes dos segmentos confirmam o ângulo reto em
. O coeficiente angular de
é
o de
é
Como
, os segmentos são perpendiculares, confirmando que
é o vértice reto.
Passo 8
Calcular a altura relativa à hipotenusa: é a distância do ponto
à reta
. Usamos a fórmula da distância ponto–reta. Escrevendo
na forma
:
ou seja
,
,
. A distância do ponto
à reta é
Substituindo:
Podemos racionalizar: