Determine o valor de E , definido da seguinte maneira:
Passo 1
O enunciado pede para determinar o valor de
, sendo
a soma infinita
Informações dadas:
- Cada termo geral da soma é
. - O índice
começa em (porque para obtemos o primeiro termo ). - A pergunta é: calcular o valor numérico da soma infinita
.
Passo 2
Escrevemos a soma usando somatório para ficar claro o índice:
Note que o denominador pode ser reescrito como potência de
:
Isso é só uma reescrita útil; ainda não resolvemos nada, apenas organizamos a expressão.
Passo 3
Vamos separar a fração em duas parcelas para poder somar mais facilmente:
Agora simplificamos as potências na primeira parcela. Para a potência usamos a regra
:
E a segunda parcela usando
dá
Passo 4
Substituindo essas simplificações no somatório, obtemos
Como a soma é linear, separamos em duas somas:
Para a segunda soma é conveniente trocar de índice: se definirmos
então
e obtemos
Passo 5
Agora precisamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica. Vamos revisar e justificar essa fórmula de forma breve e clara.
Seja um número com
. A soma infinita
Seja
converge e podemos calcular
assim: multiplica-se por
,
subtrai-se das duas expressões:
Portanto, para
temos
e também
porque
.
Passo 6
Aplicamos a fórmula geométrica às duas somas que aparecem em
.
Para a primeira soma usamos
:
Para a segunda soma usamos
na forma com índice começando em
:
Passo 7
Substituímos os resultados na expressão de
:
Passamos para denominador comum para subtrair:
Passo 8
Concluímos que a soma infinita converge e seu valor é
Você conseguiu! Se quiser, a gente pode conferir numericamente os primeiros termos para ver a aproximação convergindo para
.