Determine o valor de E , definido da seguinte maneira: \mathrm{E}=1+\frac{3}{4}+\frac{7}{16}+\cdots+\frac{2^{\mathrm{n}}-1}{2^{2 \mathrm{n}-2}}+\cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor de \mathrm{E}, sendo \mathrm{E} a soma infinita
\mathrm{E}=1+\frac{3}{4}+\frac{7}{16}+\cdots+\frac{2^{\mathrm{n}}-1}{2^{2\mathrm{n}-2}}+\cdots
Informações dadas:
  • Cada termo geral da soma é \dfrac{2^{\mathrm{n}}-1}{2^{2\mathrm{n}-2}}.
  • O índice \mathrm{n} começa em \mathrm{n}=1 (porque para \mathrm{n}=1 obtemos o primeiro termo 1).
  • A pergunta é: calcular o valor numérico da soma infinita \mathrm{E}.

Passo 2

Escrevemos a soma usando somatório para ficar claro o índice:
\mathrm{E}=\sum_{\mathrm{n}=1}^{\infty}\frac{2^{\mathrm{n}}-1}{2^{2\mathrm{n}-2}}.
Note que o denominador pode ser reescrito como potência de 4:
2^{2\mathrm{n}-2}=4^{\mathrm{n}-1}.
Isso é só uma reescrita útil; ainda não resolvemos nada, apenas organizamos a expressão.

Passo 3

Vamos separar a fração em duas parcelas para poder somar mais facilmente:
\frac{2^{\mathrm{n}}-1}{2^{2\mathrm{n}-2}}=\frac{2^{\mathrm{n}}}{2^{2\mathrm{n}-2}}-\frac{1}{2^{2\mathrm{n}-2}}.
Agora simplificamos as potências na primeira parcela. Para a potência usamos a regra 2^{a}/2^{b}=2^{a-b}:
\frac{2^{\mathrm{n}}}{2^{2\mathrm{n}-2}}=2^{\mathrm{n}-(2\mathrm{n}-2)}=2^{-\mathrm{n}+2}=4\cdot 2^{-\mathrm{n}}.
E a segunda parcela usando 2^{2\mathrm{n}-2}=4^{\mathrm{n}-1}
\frac{1}{2^{2\mathrm{n}-2}}=\left(\frac{1}{4}\right)^{\mathrm{n}-1}.

Passo 4

Substituindo essas simplificações no somatório, obtemos
\mathrm{E}=\sum_{\mathrm{n}=1}^{\infty}\left(4\cdot 2^{-\mathrm{n}}-\left(\frac{1}{4}\right)^{\mathrm{n}-1}\right).
Como a soma é linear, separamos em duas somas:
\mathrm{E}=4\sum_{\mathrm{n}=1}^{\infty}2^{-\mathrm{n}}-\sum_{\mathrm{n}=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{\mathrm{n}-1}.
Para a segunda soma é conveniente trocar de índice: se definirmos k=\mathrm{n}-1 então \mathrm{n}=1\Rightarrow k=0 e obtemos
\sum_{\mathrm{n}=1}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{\mathrm{n}-1}=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{k}.

Passo 5

Agora precisamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica. Vamos revisar e justificar essa fórmula de forma breve e clara.
Seja r um número com |r|<1. A soma infinita
S=\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}=1+r+r^{2}+r^{3}+\cdots
converge e podemos calcular S assim: multiplica-se por r,
rS=r+r^{2}+r^{3}+\cdots,
subtrai-se das duas expressões:
S-rS=1 \quad\Rightarrow\quad S(1-r)=1 \quad\Rightarrow\quad S=\frac{1}{1-r}.
Portanto, para |r|<1 temos
\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}=\frac{1}{1-r},
e também
\sum_{\mathrm{n}=1}^{\infty}r^{\mathrm{n}}=\frac{r}{1-r},
porque \sum_{\mathrm{n}=1}^{\infty}r^{\mathrm{n}}=\sum_{k=0}^{\infty}r^{k}-1.

Passo 6

Aplicamos a fórmula geométrica às duas somas que aparecem em \mathrm{E}.
Para a primeira soma usamos r=\dfrac{1}{2}:
\sum_{\mathrm{n}=1}^{\infty}2^{-\mathrm{n}}=\sum_{\mathrm{n}=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{\mathrm{n}}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{2}}=1.
Para a segunda soma usamos r=\dfrac{1}{4} na forma com índice começando em k=0:
\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{k}=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{\tfrac{3}{4}}=\frac{4}{3}.

Passo 7

Substituímos os resultados na expressão de \mathrm{E}:
\mathrm{E}=4\cdot\left(1\right)-\frac{4}{3}=4-\frac{4}{3}.
Passamos para denominador comum para subtrair:
4=\frac{12}{3}\quad\Rightarrow\quad 4-\frac{4}{3}=\frac{12}{3}-\frac{4}{3}=\frac{8}{3}.

Passo 8

Concluímos que a soma infinita converge e seu valor é
\mathrm{E}=\frac{8}{3}.
Você conseguiu! Se quiser, a gente pode conferir numericamente os primeiros termos para ver a aproximação convergindo para \dfrac{8}{3}.

Resposta

\dfrac{8}{3}

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